Sobre uma hipérbole \mathcal{H}, sabe-se que:
  • o centro tem coordenadas \left(-4,-\frac{5}{2}\right)
  • a distância focal é 5
  • o eixo transverso (eixo real) é paralelo ao eixo O y e mede 3
Considere F sendo o foco de \mathcal{H} que está mais próximo da origem, e V sendo o vértice de \mathcal{H} mais distante de F.
Complete:
(a) F=(
\square
\square
)
(b) V=(
\square
\square
)
(c) O eixo conjugado (eixo imaginário) mede
\square
(d) Se
x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y +F=0
é uma equação para \mathcal{H}, então:
C=
\square
D=
\square
e F=
\square

Passo 1

O enunciado dá uma hipérbole de centro \bigl(h,k\bigr)=\bigl(-4,-\tfrac52\bigr), eixo transverso paralelo a Oy de comprimento 2a=3 e distância focal (entre os focos) 2c=5. Logo
a=\frac{3}{2},\quad c=\frac{5}{2}.
Para hipérbole com eixo transverso vertical, a forma canônica é
\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}=1,
e vale b^2=c^2-a^2.

Passo 2

Calculamos
b^2=c^2-a^2=\Bigl(\tfrac{5}{2}\Bigr)^2-\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^2 =\frac{25}{4}-\frac{9}{4}=\frac{16}{4}=4,
portanto b=2.

Passo 3

Os focos ficam em
\bigl(h,\;k\pm c\bigr)=\bigl(-4,\;-{\tfrac52}\pm{\tfrac52}\bigr), i.e.
F_1=(-4,0),\quad F_2=(-4,-5).
O foco mais próximo da origem é F=(-4,0).
Os vértices ficam em
\bigl(h,\;k\pm a\bigr)=\bigl(-4,\;-{\tfrac52}\pm{\tfrac32}\bigr), i.e.
V_1=(-4,-1),\quad V_2=(-4,-4).
A distância de F=(-4,0) a V_1 é 1 e a V_2 é 4, então o vértice mais distante de F é V=(-4,-4).

Passo 4

O eixo conjugado (eixo imaginário) tem comprimento
2b=2\cdot 2=4.

Passo 5

Para obter a equação no formato
x^2+Bxy+C y^2+Dx+Ey+F=0
começamos de
\frac{(y+\tfrac52)^2}{(\tfrac32)^2}-\frac{(x+4)^2}{(2)^2}=1.
Isto é
\frac{(y+\tfrac52)^2}{\tfrac{9}{4}}-\frac{(x+4)^2}{4}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{4(y+\tfrac52)^2}{9}-\frac{(x+4)^2}{4}-1=0.
Multiplicando por 36 e expandindo dá
-9x^2+16y^2-72x+80y-80=0 \;\Longrightarrow\; x^2 -\frac{16}{9}y^2+8x-\frac{80}{9}y+\frac{80}{9}=0.
Assim no modelo x^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 temos
B=0,\quad C=-\tfrac{16}{9},\quad D=8,\quad E=-\tfrac{80}{9},\quad F=\tfrac{80}{9}.

Resposta

(a) F=(-4,0)
(b) V=(-4,-4)
(c) 4
(d) C=-\tfrac{16}{9},\quad D=8,\quad F=\tfrac{80}{9}

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