Esboce a superfície de equação:
3 x^{2}-y^{2}+z^{2}-4 x+6 y+5=0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a superfície definida por
3x^{2}-y^{2}+z^{2}-4x+6y+5=0.
O conteúdo envolve reconhecimento de quádricas em \mathbb{R}^{3}. Vamos completar quadrados em x e y, reduzir à forma canônica e, a partir dela, classificar e descrever a superfície.

Passo 2

Agrupamos as parcelas em x e completamos o quadrado:
3x^{2}-4x = 3\bigl(x^{2}-\tfrac{4}{3}x\bigr) =3\Bigl[(x-\tfrac{2}{3})^{2}-\tfrac{4}{9}\Bigr] =3(x-\tfrac{2}{3})^{2}-\tfrac{4}{3}.

Passo 3

Agrupamos as parcelas em y (lembrando do sinal negativo) e completamos o quadrado:
-y^{2}+6y = -\bigl(y^{2}-6y\bigr) =-\Bigl[(y-3)^{2}-9\Bigr] =-(y-3)^{2}+9.

Passo 4

Substituindo na equação original e somando constantes:
3(x-\tfrac{2}{3})^{2}-\tfrac{4}{3} \;-\;(y-3)^{2}+9 \;+\;z^{2} \;+\;5 =0.
As constantes somam -\tfrac{4}{3}+9+5 = \tfrac{38}{3}. Logo
3(x-\tfrac{2}{3})^{2} + z^{2} - (y-3)^{2} + \tfrac{38}{3} = 0 \;\Longrightarrow\; (y-3)^{2} - 3(x-\tfrac{2}{3})^{2} - z^{2} = \tfrac{38}{3}.

Passo 5

Dividindo ambos os lados por \tfrac{38}{3}, obtemos a forma canônica
\frac{(y-3)^{2}}{\tfrac{38}{3}} -\frac{(x-\tfrac{2}{3})^{2}}{\tfrac{38}{9}} -\frac{z^{2}}{\tfrac{38}{3}} =1.
Há um termo positivo e dois negativos, logo é um hiperboloide de duas folhas. O eixo principal é paralelo ao eixo y e o “centro” está em \bigl(\tfrac23,3,0\bigr).

Resposta

A superfície é um hiperboloide de duas folhas, centrado em \bigl(\tfrac23,3,0\bigr) e com eixo principal paralelo ao eixo y. As seções por y=y_{0} são elipses se \lvert y_{0}-3\rvert>\sqrt{\tfrac{38}{3}} (duas folhas separadas) e vazias caso contrário.

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