Considere que parafusos de uma montadora são produzidos em três fábricas: A,B e C. A fábrica A produz 40 % dos parafusos, a fábrica B produz 25 % dos parafusos e a fábrica C produz 35 % dos parafusos. Os diâmetros dos parafusos da fábrica A seguem uma distribuição normal com média 25 mm e variância 16 mm , os diâmetros dos parafusos da fábrica B seguem uma distribuição normal com média 20 mm e variância 25 mm e os diâmetros dos parafusos da fábrica C seguem uma distribuição normal com média 22 mm e variância 36 mm .
Dado que o parafuso selecionado é MAIOR que 22 mm , qual a probabilidade de ser proveniente da fábrica A?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo e no que vamos precisar para resolvê-la. Temos parafusos produzidos por três fábricas diferentes: A, B e C. Cada fábrica produz uma certa porcentagem do total de parafusos:
  • Fábrica A: 40%
  • Fábrica B: 25%
  • Fábrica C: 35%
Além disso, os diâmetros dos parafusos de cada fábrica seguem uma distribuição normal com médias e variâncias diferentes:
  • Fábrica A: média = 25 mm, variância = 16 mm²
  • Fábrica B: média = 20 mm, variância = 25 mm²
  • Fábrica C: média = 22 mm, variância = 36 mm²
A questão pergunta: Dado que o parafuso selecionado é maior que 22 mm, qual a probabilidade de ser proveniente da fábrica A?
Para resolver isso, vamos precisar usar probabilidades condicionais e o Teorema de Bayes. Vamos seguir passo a passo para entender tudo direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é uma distribuição normal. É uma forma de distribuição de probabilidade que é simétrica em torno da média, mostrando que dados próximos à média são mais frequentes. A média é o centro da distribuição, e a variância (ou o desvio padrão, que é a raiz quadrada da variância) nos diz o quanto os dados se espalham em torno dessa média.
No nosso caso, cada fábrica tem uma média e uma variância diferentes para os diâmetros dos parafusos. Queremos saber a probabilidade de um parafuso ser de uma fábrica específica, dado que seu diâmetro é maior que 22 mm.

Passo 3

Vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a encontrar uma probabilidade condicional. A fórmula do Teorema de Bayes é:
P(A | X > 22) = P(X > 22 | A) cdot P(A)P(X > 22)
Aqui:
  • $ P(A | X > 22) $ é a probabilidade de o parafuso ser da fábrica A, dado que seu diâmetro é maior que 22 mm.
  • $ P(X > 22 | A) $ é a probabilidade de um parafuso da fábrica A ter diâmetro maior que 22 mm.
  • $ P(A) $ é a probabilidade geral de um parafuso ser da fábrica A, que é 40%.
  • $ P(X > 22) $ é a probabilidade geral de um parafuso ter diâmetro maior que 22 mm, independentemente da fábrica.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular $ P(X > 22 | A) $, $ P(X > 22 | B) $ e $ P(X > 22 | C) $. Para isso, precisamos padronizar os valores usando o Z-score, que nos diz quantos desvios padrão um valor está da média.
A fórmula do Z-score é:
P(X > 22 | A)
Onde:
  • $ X $ é o valor que estamos analisando (22 mm).
  • $ \mu $ é a média da distribuição.
  • $ \sigma $ é o desvio padrão (raiz da variância).
Vamos calcular para cada fábrica:
Fábrica A:
P(X > 22 | B)
P(X > 22 | C)
Fábrica B:
Z = X - musigma
X
Fábrica C:
mu
sigma

Passo 5

Agora, vamos usar uma tabela de distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes aos Z-scores que calculamos.
Para Z_A = -0,75:
Queremos $ P(X > 22 | A) = P(Z > -0,75) $. Sabemos que a distribuição normal é simétrica, então $ P(Z > -0,75) = 1 - P(Z < -0,75) $. Consultando a tabela, $ P(Z < -0,75) \approx 0,2266 $. Então:
P(X > 22 | A) = P(Z > -0,75)
Para Z_B = 0,40:
Queremos $ P(X > 22 | B) = P(Z > 0,40) $. Da tabela, $ P(Z < 0,40) \approx 0,6554 $. Então:
P(Z > -0,75) = 1 - P(Z < -0,75)
Para Z_C = 0:
Queremos $ P(X > 22 | C) = P(Z > 0) $. Sabemos que $ P(Z > 0) = 0,5 $.

Passo 6

Agora que temos essas probabilidades, vamos calcular $ P(X > 22) $, que é a probabilidade total de um parafuso ter diâmetro maior que 22 mm, considerando todas as fábricas. Usamos a regra da probabilidade total:
P(X > 22)
Substituindo os valores que temos:
P(X > 22) = P(X > 22 | A) cdot P(A) + P(X > 22 | B) cdot P(B) + P(X > 22 | C) cdot P(C)
P(X > 22) = 0,7734 cdot 0,40 + 0,3446 cdot 0,25 + 0,5 cdot 0,35

Passo 7

Agora, vamos aplicar o Teorema de Bayes para encontrar $ P(A | X > 22) $:
P(A | X > 22)
P(A | X > 22) = P(X > 22 | A) cdot P(A)P(X > 22)

Resposta

A probabilidade de o parafuso ser proveniente da fábrica A, dado que ele é maior que 22 mm, é aproximadamente 54,1%.

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