(1,0) O fornecedor de material para fabricação dos resistores foi substituído e é possível que a qualidade do produto tenha sido alterada. Para investigar esta situação, os engenheiros colheram uma amostra aleatória com 100 resistores.
a) A probabilidade de que a média desta amostra esteja entre 997 Omega e 1003 Omega é .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão fala sobre um fornecedor de material para resistores que foi trocado, e isso pode ter mudado a qualidade dos resistores produzidos. Para investigar isso, os engenheiros pegaram uma amostra aleatória de 100 resistores. O que precisamos descobrir é qual a probabilidade de que a média dessa amostra esteja entre 997 , Omega e 1003 , Omega. Vamos usar conceitos de estatística, mais especificamente a Teoria do Limite Central, para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a média de uma amostra. A média amostral ( barx) é a soma dos valores dos resistores dividida pelo número de resistores na amostra. Queremos saber a probabilidade dessa média estar entre 997 , Omega e 1003 , Omega.

Passo 3

Para calcular essa probabilidade, precisamos usar a Teoria do Limite Central, que nos diz que, para uma amostra grande o suficiente (geralmente n >= 30), a distribuição das médias amostrais será aproximadamente normal, mesmo que a distribuição original dos dados não seja normal. No nosso caso, a amostra tem 100 resistores, então podemos aplicar essa teoria.

Passo 4

Vamos precisar da média da população ( mu) e do desvio padrão da população ( sigma). Como não foram fornecidos, vamos supor que a média esperada é 1000 , Omega e o desvio padrão é 10 , Omega. Essas suposições são comuns para ilustrar o cálculo.

Passo 5

Agora, calculamos o erro padrão da média ( Ep), que é dado por:
Ep = sigmaraizn
Substituindo os valores:
Ep = 10raiz100 = 1010 = 1 , Omega

Passo 6

Com o erro padrão, podemos padronizar a distribuição para usar a tabela da distribuição normal padrão. Queremos encontrar a probabilidade de que barx esteja entre 997 , Omega e 1003 , Omega.

Passo 7

Calculamos os valores z para cada limite:
z1 = 997 - 10001 = -3
z2 = 1003 - 10001 = 3

Passo 8

Consultando a tabela da distribuição normal padrão, a área entre z = -3 e z = 3 é aproximadamente 99.73%.

Resposta

A probabilidade de que a média da amostra esteja entre 997 , Omega e 1003 , Omega é de aproximadamente 99,73%.

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