O fornecedor de material para fabricação dos resistores foi substituído e é possível que a qualidade do produto tenha sido alterada. Para investigar esta situação, os engenheiros colheram uma amostra aleatória com 100 resistores.
a) A probabilidade de que a média desta amostra esteja entre
e
é
.
a) A probabilidade de que a média desta amostra esteja entre
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão fala sobre um fornecedor de material para resistores que foi trocado, e isso pode ter mudado a qualidade dos resistores produzidos. Para investigar isso, os engenheiros pegaram uma amostra aleatória de 100 resistores. O que precisamos descobrir é qual a probabilidade de que a média dessa amostra esteja entre
e
. Vamos usar conceitos de estatística, mais especificamente a Teoria do Limite Central, para resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a média de uma amostra. A média amostral (
) é a soma dos valores dos resistores dividida pelo número de resistores na amostra. Queremos saber a probabilidade dessa média estar entre
e
.
Passo 3
Para calcular essa probabilidade, precisamos usar a Teoria do Limite Central, que nos diz que, para uma amostra grande o suficiente (geralmente
), a distribuição das médias amostrais será aproximadamente normal, mesmo que a distribuição original dos dados não seja normal. No nosso caso, a amostra tem 100 resistores, então podemos aplicar essa teoria.
Passo 4
Vamos precisar da média da população (
) e do desvio padrão da população (
). Como não foram fornecidos, vamos supor que a média esperada é
e o desvio padrão é
. Essas suposições são comuns para ilustrar o cálculo.
Passo 5
Agora, calculamos o erro padrão da média (
), que é dado por:
Substituindo os valores:
Passo 6
Com o erro padrão, podemos padronizar a distribuição para usar a tabela da distribuição normal padrão. Queremos encontrar a probabilidade de que
esteja entre
e
.
Passo 7
Calculamos os valores
para cada limite:
Passo 8
Consultando a tabela da distribuição normal padrão, a área entre
e
é aproximadamente
.
Resposta
A probabilidade de que a média da amostra esteja entre
e
é de aproximadamente
.