(2,0) A mudança de fornecedor pode causar impacto na aparência do resistor. A taxa de aprovação de resistores na etapa de inspeção visual era de 95%. Entre os 100 resistores selecionados aleatoriamente, 91 foram aprovados. Com base nestes dados, é possível afirmar que houve redução no índice de aprovação visual dos resistores? Justifique sua conclusão baseando-a em uma significância de 5%.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente sabe que antes do fornecedor mudar, 95% dos resistores eram aprovados na inspeção visual. Agora, selecionamos 100 resistores de forma aleatória e queremos saber se esse índice de aprovação diminuiu. Para resolver isso, vamos usar Estatística, mais especificamente um teste de hipótese para proporções. Precisamos comparar a proporção antiga (95%) com a nova (que vamos calcular com os dados fornecidos) e ver se a mudança é estatisticamente significativa com um nível de confiança de 5%.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Taxa antiga de aprovação (p₀): 95% ou 0,95
  • Número de resistores amostrados (n): 100
  • Número de resistores aprovados na amostra (x): 91
A proporção observada na amostra (p̂) é:
p = xn = 91100 = 0,91

Passo 3

Agora, vamos formular nossas hipóteses:
  • Hipótese Nula (H₀): A taxa de aprovação não mudou ou diminuiu. Matemáticamente, H₀: p ≥ 0,95
  • Hipótese Alternativa (H₁): A taxa de aprovação diminuiu. Ou seja, H₁: p < 0,95
Estamos testando se a taxa de aprovação diminuiu, então nosso teste é unilateral.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da proporção. O erro padrão (EP) nos ajuda a medir a variação esperada da proporção amostral:
EP = raizp₀ (1 - p₀)n = raiz0,95 times (1 - 0,95)100 = raiz0,95 times 0,05100 = raiz0,0475100 = raiz0,000475 approx 0,0218

Passo 5

Em seguida, calculamos o valor do teste (z) para ver quantos desvios padrão nossa proporção amostral está da proporção hipotética:
z = p - p₀EP = 0,91 - 0,950,0218 approx -0,040,0218 approx -1,835

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor crítico para o nível de significância de 5%. Como nosso teste é unilateral (estamos verificando se a proporção diminuiu), usamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar o valor correspondente a 5% na cauda esquerda:
O valor crítico para α = 0,05 em um teste unilateral é aproximadamente -1,645.

Passo 7

Comparamos o valor do teste z com o valor crítico:
  • z calculado: -1,835
  • z crítico: -1,645
Como -1,835 < -1,645, estamos na região de rejeição da hipótese nula.

Resposta

Sim, com um nível de significância de 5%, há evidências suficientes para afirmar que houve uma redução no índice de aprovação visual dos resistores.

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