Considere o paralelepípedo em R^3 ab aixo,
onde C=(4,1,-3), H=(3,5,0), F=(-1,7,7) e G=(2,2,2). O volume deste paralelepípedo é:
(A) 21
(B) 20
(C) 22
(D) 25
(E) 24
(F) 23
(G) 27
(H) 26
(I) Não sei

Passo 1

O enunciado dá quatro vértices de um paralelepípedo em R^3:
C=(4,1,-3), H=(3,5,0), F=(-1,7,7) e G=(2,2,2).
Queremos o volume desse paralelepípedo usando o conteúdo de produto misto (determinante 3times 3).

Passo 2

Se escolhemos C como vértice comum, as arestas são os vetores
CH, CF, CG,
e o volume é
l|detl[CH,,CF,,CGr]r|

Passo 3

Calculamos cada vetor a partir de C:
CH = H - C = (3-4,;5-1,;0-(-3)) = (-1,,4,,3),
CF = F - C = (-1-4,;7-1,;7-(-3)) = (-5,,6,,10),
CG = G - C = (2-4,;2-1,;2-(-3)) = (-2,,1,,5)

Passo 4

Formamos a matriz cujas colunas são esses vetores e expandimos o determinante pela primeira linha:
A = -1 & -5 & -2 4 & 6 & 1 3 & 10 & 5 ,
det A = -1cdotdet!6 & 1 10 & 5 -(-5)cdotdet!4 & 1 3 & 5 +(-2)cdotdet!4 & 6 3 & 10
Calculando os menores:
det!6 & 1 10 & 5=6cdot5-1cdot10=20, det!4 & 1 3 & 5=4cdot5-1cdot3=17,
det!4 & 6 3 & 10=4cdot10-6cdot3=22
Substituindo:
det A = -1cdot20 + 5cdot17 -2cdot22 = -20 +85 -44 = 21
Portanto o volume é l|det Ar| = 21.

Resposta

(A) 21

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