Seja T: R^2 longrightarrow R^2 um operador linear definido por T(x, y)=(x-y, x+3 y). Determine se T é ou não diagonalizável.

Passo 1

O enunciado diz que TcolonR^2toR^2 é definido por
T(x,y)=(x-y,;x+3y)
Queremos ver se existe uma base de R^2 formada por autovetores de T, ou seja, se podemos diagonalizar T. Para isso, vamos:
1. Representar T pela matriz A na base canônica.
2. Calcular o polinômio característico de A e seus autovalores.
3. Verificar a dimensão do espaço próprio (geométrica) de cada autovalor.

Passo 2

Na base canônica (1,0),(0,1), temos
T(1,0)=(1,1), T(0,1)=(-1,3),
logo a matriz de T é
A= 1 & -1[6pt] 1 & 3
O polinômio característico é
det(A-lambda I) =det! 1-lambda & -1[4pt] 1 & 3-lambda =(1-lambda)(3-lambda)+1 =lambda^2-4lambda+4 =(lambda-2)^2
Portanto o único autovalor é lambda=2 com multiplicidade algébrica 2.]

Passo 3

Para buscamos os vetores não nulos que satisfazem , isto é
o que dá a equação , ou seja . Logo o espaço próprio associado a tem dimensão (é gerado por ).
Como a dimensão geométrica é , menor que a multiplicidade algébrica , não existe base de formada por autovetores de .]

Resposta

T não é diagonalizável.

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