Seja
um operador linear definido por
. Determine se
é ou não diagonalizável.
Passo 1
O enunciado diz que
é definido por
Queremos ver se existe uma base de
formada por autovetores de
, ou seja, se podemos diagonalizar
. Para isso, vamos:
. Representar
pela matriz
na base canônica.
. Calcular o polinômio característico de
e seus autovalores.
. Verificar a dimensão do espaço próprio (geométrica) de cada autovalor.
Passo 2
Na base canônica
, temos
logo a matriz de
é
O polinômio característico é
Portanto o único autovalor é
com multiplicidade algébrica
.]
Passo 3
Para
buscamos os vetores não nulos que satisfazem
, isto é
o que dá a equação
, ou seja
. Logo o espaço próprio associado a
tem dimensão
(é gerado por
).
Como a dimensão geométrica é
, menor que a multiplicidade algébrica
, não existe base de
formada por autovetores de
.]