Seja
um
-espaço vetorial com produto interno. Sejam
tais que
. Prove que
é ortogonal a
.
Passo 1
O enunciado considera um
-espaço vetorial
com produto interno e dois vetores
tais que
. Define-se
e pede-se para provar que
é ortogonal a
, isto é, que
Vamos usar a definição de ortogonalidade e as propriedades de bilinearidade e simetria do produto interno.
Passo 2
Dois vetores
são ortogonais se
O produto interno satisfaz:
- Bilinearidade em cada argumento, por exemplo
- Simetria
- E
.
Passo 3
Calculemos
Passo 4
Expandindo cada termo, temos
e
Como
, a soma fica
Passo 5
Logo
Pela hipótese
segue
, logo
Passo 6
Como o produto interno de
com
é zero, concluímos que
é ortogonal a
.