Seja V um R-espaço vetorial com produto interno. Sejam u, v in V tais que |u|=|r|. Prove que w=12(u+v) é ortogonal a u-v.

Passo 1

O enunciado considera um R-espaço vetorial V com produto interno e dois vetores u,vin V tais que |u|=|v|. Define-se
w=tfrac12l(u+vr)
e pede-se para provar que w é ortogonal a u-v, isto é, que
lang<= w,,u-vrang<==0
Vamos usar a definição de ortogonalidade e as propriedades de bilinearidade e simetria do produto interno.

Passo 2

Dois vetores x,yin V são ortogonais se
lang<= x,yrang<==0
O produto interno satisfaz:
  1. Bilinearidade em cada argumento, por exemplo
lang<= x+y,zrang<==lang<= x,zrang<=+lang<= y,zrang<=,
  1. Simetria
lang<= x,yrang<==lang<= y,xrang<=,
  1. E lang<= x,xrang<==|x|^2.

Passo 3

Calculemos
lang<= w,,u-vrang<= =llang<= tfrac12(u+v),,u-vrrang<= =tfrac12l(lang<= u,,u-vrang<=+lang<= v,,u-vrang<=r)

Passo 4

Expandindo cada termo, temos
lang<= u,,u-vrang<==lang<= u,urang<=-lang<= u,vrang<=
e
lang<= v,,u-vrang<==lang<= v,urang<=-lang<= v,vrang<=
Como lang<= v,urang<==lang<= u,vrang<=, a soma fica
lang<= u,urang<=-lang<= u,vrang<=+lang<= u,vrang<=-lang<= v,vrang<= =lang<= u,urang<=-lang<= v,vrang<=

Passo 5

Logo
lang<= w,,u-vrang<= =tfrac12l(lang<= u,urang<=-lang<= v,vrang<=r) =tfrac12l(|u|^2-|v|^2r)
Pela hipótese |u|=|v| segue |u|^2-|v|^2=0, logo
lang<= w,,u-vrang<==0

Passo 6

Como o produto interno de w com u-v é zero, concluímos que w é ortogonal a u-v.

Resposta

wperp(u-v)

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