Considere o paralelepípedo formado pelos vetores u=(3,2,1), v=(1,1,2) e w=(1,3,3) :
(a) Encontre a área da face determinada por u e v;
(b) Obtenha o volume deste paralelepípedo.

Passo 1

O enunciado dá um paralelepípedo em R^3 gerado pelos vetores u=(3,2,1), v=(1,1,2) e w=(1,3,3).
(a) Pede a área da face gerada por u e v.
(b) Pede o volume do paralelepípedo.
Para (a) vamos usar o produto vetorial e seu módulo; para (b) usamos o produto misto (produto escalar de um vetor pelo produto vetorial dos outros dois).

Passo 2

Calculamos o produto vetorial utimesv.
utimesv = i & j & k 3 & 2 & 1 1 & 1 & 2 = i(2cdot2 -1cdot1) - j(3cdot2 -1cdot1) + k(3cdot1 -2cdot1) =,(3,,-5,,1)

Passo 3

A área do paralelogramo formado por u e v é |utimesv|.
|utimesv| =raiz3^2+(-5)^2+1^2 =raiz9+25+1 =raiz35

Passo 4

Para o volume, precisamos do produto misto ucdot(vtimesw). Primeiro obtenha vtimesw:
vtimesw = i & j & k 1 & 1 & 2 1 & 3 & 3 = i(1cdot3 -2cdot3) - j(1cdot3 -2cdot1) + k(1cdot3 -1cdot1) =;(-3,,-1,,2)

Passo 5

Agora o produto escalar ucdot(vtimesw):
ucdot(vtimesw) =(3,2,1)cdot(-3,-1,2) =3cdot(-3)+2cdot(-1)+1cdot2 =-9-2+2=-9
O volume é o valor absoluto deste resultado:
l|ucdot(vtimesw)r|=|-9|=9

Resposta

A área da face determinada por u e v é raiz35.
O volume do paralelepípedo é 9.

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