Dê exemplos de:
(a) Um operador linear em R^2 que não possui autovalores reais.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de operador linear em R^2 que não tenha autovalores reais. O conteúdo aqui é análise de autovalores: dado um operador linear TcolonR^2toR^2, representado por uma matriz A em alguma base, precisamos calcular o polinômio característico det(A-lambda I) e verificar que ele não tem raízes reais.

Passo 2

Vamos escolher como exemplo a rotação de 90^circ no plano, que é um operador linear bem conhecido e não tem direções invariantes reais. Na base canônica e1,e2, esse operador T tem matriz
A = 0 & -1 1 & ;;0

Passo 3

Para encontrar os autovalores, calculamos o polinômio característico:
det(A - lambda I) = det! -lambda & -1 1 & -lambda = (-lambda)(-lambda) - (-1)cdot1 = lambda^2 + 1
A equação lambda^2 + 1 = 0 tem soluções lambda = pm i, que não são números reais.

Resposta

Um exemplo é o operador TcolonR^2toR^2 dado por
T(x,y) = (-y,,x),
cuja matriz na base canônica é
0 & -1 1 & ;;0 ,
e cujo polinômio característico lambda^2+1 não possui raízes reais.

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