Verifique se as aplicações dadas abaixo são transformações lineares. Em cada caso, justifique sua afirmação:
(e) Seja
um vetor fixo.
dada por
(produto interno).
(e) Seja
Passo 1
O enunciado define uma aplicação
por
por
onde
é um vetor fixo.
O conteúdo aqui é verificar se satisfaz as duas propriedades de linearidade: aditividade e homogeneidade.
O conteúdo aqui é verificar se
Passo 2
Verificamos a aditividade, ou seja, se para quaisquer
vale
Como o produto interno é distributivo em cada componente, temos
Passo 3
Agora verificamos a homogeneidade, isto é, se para todo escalar
e todo
vale
Pelo fato de o produto interno ser homogêneo em cada argumento,
Passo 4
Como
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que
é uma transformação linear.