Verifique se as aplicações dadas abaixo são transformações lineares. Em cada caso, justifique sua afirmação:
(e) Seja u0 in R^3 um vetor fixo. S: R^3 R dada por S(v)=v cdot u0 (produto interno).

Passo 1

O enunciado define uma aplicação
,S:R^3toR
por
S(v)=vcdot u0,
onde u0inR^3 é um vetor fixo.
O conteúdo aqui é verificar se S satisfaz as duas propriedades de linearidade: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Verificamos a aditividade, ou seja, se para quaisquer v,winR^3 vale
S(v+w)=S(v)+S(w)
Como o produto interno é distributivo em cada componente, temos
S(v+w)=(v+w)cdot u0 =vcdot u0+wcdot u0 =S(v)+S(w)

Passo 3

Agora verificamos a homogeneidade, isto é, se para todo escalar alphainR e todo vinR^3 vale
S(alpha v)=alpha,S(v)
Pelo fato de o produto interno ser homogêneo em cada argumento,
S(alpha v)=(alpha v)cdot u0 =alpha,(vcdot u0) =alpha,S(v)

Passo 4

Como S satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que S é uma transformação linear.

Resposta

S é transformação linear.

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