Verifique se as aplicações dadas abaixo são transformações lineares. Em cada caso, justifique sua afirmação:
(d) T: P2 P2 tal que T(a x^2+b x+c)=(a+1) x^2+(b+1) x+c+1.

Passo 1

O enunciado define uma aplicação
Tcolon P2to P2, Tl(a x^2+b x+cr)=(a+1)x^2+(b+1)x+(c+1),
onde P2 é o espaço dos polinômios de grau <=2. Para verificar se T é transformação linear, vamos usar a definição: T é linear se e somente se para todo p,qin P2 e todo escalar lambda vale
1. T(p+q)=T(p)+T(q),
2. T(lambda p)=lambda,T(p).
Uma forma rápida é checar se T preserva o polinômio zero.

Passo 2

O polinômio zero em P2 é 0(x)=0x^2+0x+0. Aplicando T temos
Tl(0(x)r)=Tl(0x^2+0x+0r)=(0+1)x^2+(0+1)x+(0+1)=x^2+x+1neq 0(x)
Como uma transformação linear deve satisfazer T(0)=0, concluímos que T não é linear.

Resposta

A aplicação T não é transformação linear, pois não preserva o polinômio zero (isto é, T(0)neq 0).

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