Verifique se as aplicações dadas abaixo são transformações lineares. Em cada caso, justifique sua afirmação:
(i) G: M3 M3, G(A)=A B+I, onde B=diag(1,2,3) é uma matriz diagonal e I é a matriz identidade de ordem 3.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
Gcolon M3 to M3, G(A)=A,B + I,
onde B=diag(1,2,3) e I é a matriz identidade 3times3. O conteúdo aqui é teoria de aplicações lineares em espaços de matrizes: precisamos verificar se G preserva soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Lembrando a definição, G é linear se, e somente se, para todo A,Cin M3 e todo escalar k, tivermos
  1. G(A + C) = G(A) + G(C),
  2. G(kA) = k,G(A).
    Uma condição equivalente e muitas vezes mais simples é verificar se
G(0) = 0,
pois toda aplicação linear satisfaz G(0)=0.

Passo 3

Calculemos G na matriz zero 0:
G(0)=0cdot B + I = I
Como I neq 0, concluímos que
G(0)neq 0,
logo G não pode ser linear.

Passo 4

Podemos também checar diretamente a violação de aditividade: para A,Cin M3,
G(A+C)=(A+C)B + I = AB + CB + I,
enquanto
G(A)+G(C)=l(AB+Ir) +l(CB+Ir)=AB+CB+2I
Vemos que G(A+C)neq G(A)+G(C). Isso confirma que G não é transformação linear.

Resposta

G não é uma transformação linear.

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