Verifique se as aplicações dadas abaixo são transformações lineares. Em cada caso, justifique sua afirmação:
(i)
, onde
é uma matriz diagonal e
é a matriz identidade de ordem 3.
(i)
Passo 1
O enunciado define a aplicação
onde
e
é a matriz identidade
. O conteúdo aqui é teoria de aplicações lineares em espaços de matrizes: precisamos verificar se
preserva soma e multiplicação por escalar.
Passo 2
Lembrando a definição,
é linear se, e somente se, para todo
e todo escalar
, tivermos
-
, -
.
Uma condição equivalente e muitas vezes mais simples é verificar se
pois toda aplicação linear satisfaz
.
Passo 3
Calculemos
na matriz zero
:
Como
, concluímos que
logo
não pode ser linear.
Passo 4
Podemos também checar diretamente a violação de aditividade: para
,
enquanto
Vemos que
. Isso confirma que
não é transformação linear.