Considere um paralelepípedo P cuja soma das áreas das faces vale 12 e a soma do comprimento das arestas vale 8. Quais as dimensões de P para que seu volume seja máximo?

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que temos um paralelepípedo P com duas condições:
  1. A soma das áreas das seis faces vale 12.
  2. A soma dos comprimentos das doze arestas vale 8.
    No fundo, é um problema de geometria (área e volume de paralelepípedo) e de ver se as restrições fazem sentido pra depois, quem sabe, falar em “máximo de volume”. A gente vai precisar das fórmulas:
  • Área total das faces: 2(xy + xz + yz).
  • Soma das arestas: 4(x+y+z).

Passo 2

Vamos chamar as arestas de comprimentos x,y,z>0.
Pela área total:
2,(xy + xz + yz) = 12 Longrightarrow xy + xz + yz = 6
Pela soma das arestas:
4,(x + y + z) = 8 Longrightarrow x + y + z = 2

Passo 3

Agora usamos a identidade algébrica
(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2,(xy + xz + yz)
Substituindo x+y+z=2 e xy+xz+yz=6, vem
4 = x^2 + y^2 + z^2 + 2cdot 6 ;;Longrightarrow;; x^2 + y^2 + z^2 = 4 - 12 = -8
Mas soma de quadrados de números reais não pode dar número negativo. Ou seja, as duas condições são contraditórias para x,y,z reais.

Resposta

Não existe nenhum paralelepípedo de arestas positivas que satisfaça simultaneamente essas duas condições, logo não há dimensões reais em que o volume seja definido (muito menos maximizado).

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