Resolva a equação diferencial usando uma substituição apropriada: y=ux ou x= vy
(x^3+y^3) d x-3 x y^2 d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
l(x^3+y^3r),dx ;-;3,x,y^2,dy ;=;0
usando uma substituição do tipo y = u,x (ou equivalente). Essa é uma equação homogênea de grau 3, pois cada termo em x e y tem soma de expoentes igual a 3. Vamos usar y = u,x e reduzir a um DE separável em x e u.

Passo 2

Fazendo y = u,x implica
dy = u,dx + x,du
Substituindo em cada termo:
x^3+y^3=x^3+u^3x^3=x^3(1+u^3),
3,x,y^2=3,x,(u^2x^2)=3,u^2x^3
Logo a equação original vira
x^3(1+u^3),dx ;-;3,u^2x^3l(u,dx + x,dur)=0

Passo 3

Expandindo e agrupando termos em dx e du:
x^3(1+u^3),dx ;-;3u^3x^3,dx ;-;3u^2x^4,du=0
x^3l((1+u^3)-3u^3r)dx ;-;3u^2x^4du=0
x^3(1-2u^3),dx ;-;3u^2x^4,du=0
Dividindo tudo por x^3neq0 fica
(1-2u^3),dx ;-;3u^2x,du=0
ou ainda
dxx ;=;3u^21-2u^3,du

Passo 4

Agora integramos cada lado:
integral dxx ;=;integral 3u^21-2u^3,du
No lado direito fazemos a troca t=1-2u^3, então dt=-6u^2,du, i.e.\ u^2du=-tfracdt6. Assim
integral 3u^21-2u^3,du =integral 3t,l(-tfracdt6r) =-tfrac12integral dtt =-tfrac12lnl|tr|+C
No lado esquerdo dá ln|x|. Logo
ln|x| = -tfrac12lnl|1-2u^3r| + C
Podemos reescrever como
2ln|x| + lnl|1-2u^3r| = C' Longrightarrow lnl|x^2(1-2u^3)r| = C'
Longrightarrow x^2(1-2u^3) = K, K constante

Passo 5

Voltando à variável original u = tfracyx:
x^2l(1-2l(tfracyxr)^3r)=K Longrightarrow x^2-2,y^3x=K Longrightarrow x^3-2,y^3=K,x
Esse é o resultado implícito geral da solução.

Resposta

boxedx^3 ;-;2,y^3 ;=; C,x,
onde C é constante arbitrária.

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