Dados espaços vetoriais V e W, bases \alpha de V e \beta de W, [T]_{\beta}^{\alpha} e v \in V, calcule T(v) matricialmente. Em seguida, calcule a fórmula de T e verifique sua resposta.
(c) V=\mathbb{R}^{3}, W=P_{1}(\mathbb{R}), \alpha=\{(1,-1,0),(1,1,0),(0,0,1)\}, \beta=\{1,1-2 x\},[T]_{\beta}^{\alpha}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6\end{array}\right], v= (0,1,1).

Passo 1

O enunciado pede para, dada a transformação linear
\;T\colon V=\mathbb{R}^3\to W=P_1(\mathbb{R}),
cuja matriz em relação às bases
\alpha=\{v_1=(1,-1,0),\;v_2=(1,1,0),\;v_3=(0,0,1)\}\subset V,\qquad \beta=\{\,1,\;1-2x\}\subset W
é
[T]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix},
e dado v=(0,1,1), calcular T(v) via coordenadas (matricialmente) e, em seguida, obter a fórmula geral de T e verificar que ela confere.

Passo 2

As colunas de [T]_{\beta}^{\alpha} nos dão as coordenadas de T(v_i) na base \beta.
  • Para v_1 a primeira coluna é \bigl(1,4\bigr), logo
T(v_1)=1\cdot1+4\cdot(1-2x)=1+4-8x=5-8x.
  • Para v_2 a segunda coluna é \bigl(2,5\bigr), logo
T(v_2)=2\cdot1+5\cdot(1-2x)=2+5-10x=7-10x.
  • Para v_3 a terceira coluna é \bigl(3,6\bigr), logo
T(v_3)=3\cdot1+6\cdot(1-2x)=3+6-12x=9-12x.

Passo 3

Para encontrar T(v) matricialmente, escrevemos
v = (0,1,1) = c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3
e resolvemos
\begin{cases} c_1 + c_2 = 0, \\\\ -c_1 + c_2 = 1, \\\ c_3 = 1. \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad (c_1, c_2, c_3) = \Bigl(-\tfrac{1}{2},\;\tfrac{1}{2},\;1\Bigr).
Logo
[T]_{\beta}^{\alpha}\, \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[6pt]\tfrac{1}{2}\\[3pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[3pt]\tfrac{1}{2}\\[3pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{7}{2}\\frac{13}{2}\end{pmatrix}.
Isto significa
T(v) = \frac{7}{2} \cdot 1 + \frac{13}{2} \bigl(1 - 2x\bigr) = \Bigl(\tfrac{7}{2} + \tfrac{13}{2}\Bigr) - \tfrac{13}{2} \cdot 2x = 10 - 13x.]

Passo 4

Para achar a fórmula geral, seja (u_1,u_2,u_3)\in\mathbb{R}^3\). Escrevemos \[(u_1,u_2,u_3)=c_1v_1+c_2v_2+c_3v_3
com
\begin{cases} c_1+c_2=u_1,\\\\ -c_1+c_2=u_2,\\\ c_3=u_3. \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad c_1=\tfrac{u_1-u_2}{2},\; c_2=\tfrac{u_1+u_2}{2},\; c_3=u_3.
Então
T(u_1,u_2,u_3) =c_1T(v_1)+c_2T(v_2)+c_3T(v_3)
=\frac{u_1-u_2}{2}(5-8x) +\frac{u_1+u_2}{2}(7-10x) +u_3(9-12x).
Separando coeficiente constante e de (x], obtém-se
T(u_1,u_2,u_3)(x) =(6u_1+u_2+9u_3)\;+\;(-9u_1-u_2-12u_3)\,x.

Passo 5

Substituindo (u_1,u_2,u_3)=(0,1,1) na fórmula geral, vem
6\cdot0+1+9\cdot1=10, \qquad -9\cdot0-1-12\cdot1=-13,
logo
T(0,1,1)(x)=10-13x,
coincidindo com o cálculo matricial do Passo 3.

Resposta

Para v=(0,1,1),
T(v)=10-13x.
A fórmula geral é
T(u_1,u_2,u_3)(x) =(6u_1+u_2+9u_3)+(-9u_1-u_2-12u_3)\,x.

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