Considere um paralelogramo A B C D de vértices A=(1,-1) ; B=(3,1) ; C=(6,0) ; D=(4,-2), no sistema de coordenadas O x y. Calcule:
Os ângulos internos do paralelogramo (use a calculadora para determinar o arco cosseno).

Passo 1

O enunciado dá um paralelogramo ABCD com
A=(1,-1), B=(3,1), C=(6,0), D=(4,-2)
e pede os ângulos internos. Vamos usar que o ângulo entre dois vetores u e v satisfaz
costheta = ucdotv|u||v|,
e depois theta=arccos(costheta).

Passo 2

No vértice A os lados adjacentes são AB e AD. Calculamos
AB = B - A = (3-1,;1-(-1)) = (2,2), AD = D - A = (4-1,;-2-(-1)) = (3,-1)

Passo 3

O cosseno do ângulo em A é
costhetaA = (2,,2)cdot(3,,-1)raiz2^2+2^2,raiz3^2+(-1)^2 = 2cdot3 + 2cdot(-1)raiz8,raiz10 = 6-2raiz80 = 44raiz5 = 1raiz5
Logo
thetaA = arccos!l(tfrac1raiz5r)approx 63,43^circ

Passo 4

No vértice B os lados adjacentes são BA e BC. Calculamos
BA = A - B = (-2,-2), BC = C - B = (3,-1)
Então
costhetaB = (-2,-2)cdot(3,-1)raiz8,raiz10 = -6+2raiz80 = -44raiz5 = -1raiz5,
e
thetaB = arccos!l(-tfrac1raiz5r)approx 116,57^circ

Passo 5

Num paralelogramo os ângulos opostos são iguais, logo
thetaC = thetaA e thetaD = thetaB.

Resposta

Os quatro ângulos internos são aproximadamente
thetaA = thetaC approx 63,43^circ, thetaB = thetaD approx 116,57^circ

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