Questão 03. (2,5 pontos) Obtenha a equação geral do plano determinado pelas retas
Passo 1
O enunciado pede a equação geral do plano determinado pelas retas r e s. O conteúdo é geometria analítica em ℝ³: para achar a equação de um plano precisamos de um ponto no plano e de um vetor normal a ele. Podemos obter o vetor normal fazendo o produto vetorial entre os vetores diretores das retas.
Passo 2
Primeiro, obtemos as parametrizações e os vetores diretores. Para r temos
o que nos dá o vetor diretor u = (2,3,−1) e o ponto P₀=(1,−2,3). Para s escrevemos
o que fornece o vetor diretor v = (−2,−1,2) e o ponto Q₀=(1,−2,3).
Passo 3
Como P₀ e Q₀ coincidem em (1,−2,3), as retas se intersectam nesse ponto e, portanto, definem um plano.
Passo 4
Agora calculamos o vetor normal n ao plano pelo produto vetorial n = u × v:
Passo 5
Por fim, usamos a forma ponto-normal: para (x,y,z) no plano vale n·((x,y,z)−P₀)=0, isto é,
Simplificando, chegamos à forma geral do plano.
Resposta
5x - 2y + 4z - 21 = 0