Questão 03. (2,5 pontos) Obtenha a equação geral do plano determinado pelas retas
r:c x=1+2 t y=-2+3 t e s: x-1-2=y+2-1=z-32, z=3-t

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano determinado pelas retas r e s. O conteúdo é geometria analítica em ℝ³: para achar a equação de um plano precisamos de um ponto no plano e de um vetor normal a ele. Podemos obter o vetor normal fazendo o produto vetorial entre os vetores diretores das retas.

Passo 2

Primeiro, obtemos as parametrizações e os vetores diretores. Para r temos
r(t)=(1+2t,, -2+3t,,3-t),
o que nos dá o vetor diretor u = (2,3,−1) e o ponto P₀=(1,−2,3). Para s escrevemos
s(λ)=(1−2λ,,-2−λ,,3+2λ),
o que fornece o vetor diretor v = (−2,−1,2) e o ponto Q₀=(1,−2,3).

Passo 3

Como P₀ e Q₀ coincidem em (1,−2,3), as retas se intersectam nesse ponto e, portanto, definem um plano.

Passo 4

Agora calculamos o vetor normal n ao plano pelo produto vetorial n = u × v:
n = i & j & k 2 & 3 & -1 -2 & -1 & 2 = (3·2 - (-1)(-1),,-(2·2 - (-1)(-2)),,2·(-1) - 3·(-2)) = (5,,-2,,4)

Passo 5

Por fim, usamos a forma ponto-normal: para (x,y,z) no plano vale n·((x,y,z)−P₀)=0, isto é,
5(x-1) - 2(y+2) + 4(z-3) = 0
Simplificando, chegamos à forma geral do plano.

Resposta

5x - 2y + 4z - 21 = 0

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