Considere um paralelogramo A B C D de vértices A=(1,-1) ; B=(3,1) ; C=(6,0) ; D=(4,-2), no sistema de coordenadas Oxy. Calcule:
a) A área do paralelogramo.
b) Os ângulos internos do paralelogramo (use a calculadora para determinar o arco cosseno).

Passo 1

A questão pede a área de um paralelogramo e seus ângulos internos. O conteúdo envolve geometria analítica no plano: cálculo de vetores de lados, área via determinante (ou produto vetorial em 2D) e ângulos via produto escalar e arccos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir dois vetores adjacentes a partir de um vértice, digamos o vértice A. Calculamos
AB = B - A = (3 - 1,;1 - (-1)) = (2,2),
AD = D - A = (4 - 1,;-2 - (-1)) = (3,-1)

Passo 3

Para achar a área do paralelogramo, usamos o valor absoluto do determinante formado por esses vetores (que equivale à magnitude do produto vetorial em 2D):
Área = l|det2 & 32 & -1r| = |2cdot(-1) - 2cdot3| = |-2 - 6| = 8 Á

Passo 4

Agora vamos aos ângulos internos. No vértice A, o ângulo θ_A entre AB e AD satisfaz
cos θA = AB cdot AD|AB|,|AD|
Calculamos cada parte:
AB cdot AD = 2cdot3 + 2cdot(-1) = 6 - 2 = 4,
|AB| = raiz2^2 + 2^2 = raiz8,
|AD| = raiz3^2 + (-1)^2 = raiz10
Logo
cos θA = 4raiz8,raiz10 = 42raiz2,raiz10 = 1raiz5 approx 0,4472
e
θA = arccosl(tfrac1raiz5r) approx 63,43^circ

Passo 5

Os ângulos opostos no paralelogramo são iguais, então o vértice C também tem 63,43^circ. Para o vértice B, usamos os vetores
BA = A - B = (-2,-2),
BC = C - B = (3,-1)
Repetindo o processo:
BA cdot BC = (-2)cdot3 + (-2)cdot(-1) = -6 + 2 = -4,
|BA| = raiz8, |BC| = raiz10,
cos θB = -4raiz8,raiz10 = -1raiz5 approx -0,4472,
θB = arccosl(-tfrac1raiz5r) approx 116,57^circ

Passo 6

Como os ângulos opostos são iguais, o vértice D também mede 116,57^circ.

Resposta

Área = 8 unidades²; ângulos internos ≈ 63{,}43° (em A e C) e 116{,}57° (em B e D).

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