Questão 2: Em R^2, considere as bases beta^prime=(3,-2),(6,8) e beta a base canônica de R^2. Determine:
a) Mostre que beta 'é uma base para R^2.
b) Encontre a matriz de transição Pbeta beta^prime Use Pbeta beta^prime para determinar [v]beta^prime onde vbeta=(3,-4)

Passo 1

O exercício pede para mostrar que o conjunto β′ = {(3,–2),(6,8)} é uma base de ℝ² e, em seguida, construir a matriz de transição P_{β→β′} que leva coordenadas na base canônica β para coordenadas na base β′. Depois, usar essa matriz para calcular [v]_{β′} dado [v]_β = (3,–4).

Passo 2

Para mostrar que β′ é uma base de ℝ², basta verificar que seus vetores são linearmente independentes. Formamos a matriz cujas colunas são esses vetores e calculamos o determinante:
S=3 & 6 -2 & 8, det(S)=3cdot8-(-2)cdot6=24+12=36neq0
Como o determinante é não nulo, os vetores são independentes e geram ℝ², logo β′ é base.

Passo 3

Para achar a matriz de transição P_{β→β′}, lembramos que, se S é a matriz cujas colunas são os vetores de β′ na base canônica, então
Pβ→β=S^-1
Aqui
S=3 & 6 -2 & 8,det(S)=36,
e a inversa de uma matriz 2×2 é dada por
S^-1=1det(S)d & -b -c & a,
o que nos dá
Pβ→β=1368 & -6 2 & 3

Passo 4

Finalmente, para obter [v]{β′}, multiplicamos P{β→β′} pelo vetor de coordenadas de v na base canônica, que é (3,–4):
[v]β=Pβ→β3 -4=1368 & -6 2 & 33 -4=13648 -6=4/3 -1/6

Resposta

Como det(S)=36neq0, os vetores de β' são LI e formam base de ℝ^2. A matriz de transição é
Pβtoβ'=1368 & -6 2 & 3
e as coordenadas de v em β' são
[v]β'=4/3 -1/6

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