Questão 2: Em , considere as bases e a base canônica de . Determine:
a) Mostre que 'é uma base para .
b) Encontre a matriz de transição Use para determinar onde
Passo 1
O exercício pede para mostrar que o conjunto β′ = {(3,–2),(6,8)} é uma base de ℝ² e, em seguida, construir a matriz de transição P_{β→β′} que leva coordenadas na base canônica β para coordenadas na base β′. Depois, usar essa matriz para calcular [v]_{β′} dado [v]_β = (3,–4).
Passo 2
Para mostrar que β′ é uma base de ℝ², basta verificar que seus vetores são linearmente independentes. Formamos a matriz cujas colunas são esses vetores e calculamos o determinante:
Como o determinante é não nulo, os vetores são independentes e geram ℝ², logo β′ é base.
Passo 3
Para achar a matriz de transição P_{β→β′}, lembramos que, se S é a matriz cujas colunas são os vetores de β′ na base canônica, então
Pβ→β=S^-1
Aqui
S=3 & 6 -2 & 8,det(S)=36,
e a inversa de uma matriz 2×2 é dada por
S^-1=1det(S)d & -b -c & a,
o que nos dá
Pβ→β=1368 & -6 2 & 3
Passo 4
Finalmente, para obter [v]{β′}, multiplicamos P{β→β′} pelo vetor de coordenadas de v na base canônica, que é (3,–4):