Questão 3: Avalie se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Dê um contraexemplo nas afirmativas falsas.
I - A união de dois subespaços vetoriais é sempre um subespaço vetorial.
II - A intersecção de dois subespaços vetoriais é sempre um subespaço vetorial.
III- Um conjunto que possui n vetores é sempre base de R^n.
IV- W=(x, y) in R^2: x+2 y=0 ou x-2 y=0 é um subespaço vetorial.
V - Três vetores linearmente dependentes de R^3 são coplanares.

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações sobre subespaços vetoriais, bases e dependência linear em R^n. Para resolver, vamos usar a definição de subespaço (fechado sob soma e multiplicação escalar), de base (geradora e linearmente independente) e a noção de dependência linear em espaços de dimensão finita.

Passo 2

I – “A união de dois subespaços vetoriais é sempre um subespaço vetorial.”
Isso é falso. Contra-exemplo: em R^2, seja
U = (x,0)mid xinR e V = (0,y)mid yinR.
Então Ucup V não é fechado sob soma, pois
(1,0)in U, (0,1)in V mas
(1,0)+(0,1)=(1,1)notin Ucup V.

Passo 3

II – “A intersecção de dois subespaços vetoriais é sempre um subespaço vetorial.”
Isso é verdadeiro. Se x,yin Ucap V, então x,yin U e x,yin V. Como U e V são fechados sob soma e escalar, qualquer combinação linear de x,y pertence a ambos, logo a Ucap V.

Passo 4

III – “Um conjunto que possui n vetores é sempre base de R^n.”
Isso é falso. Para ser base, o conjunto deve gerar R^n e ser linearmente independente. Contra-exemplo em R^2: os vetores (1,0) e (2,0) formam um conjunto de 2 vetores, mas são linearmente dependentes e não geram todo R^2.

Passo 5

IV – “ W=(x,y)inR^2: x+2y=0 ou x-2y=0 é um subespaço vetorial.”
Isso é falso. Aqui W é a união de duas retas distintas que passam pela origem, mas tal união não é fechada sob soma. Por exemplo,
(2,-1) satisfaz x+2y=0 e (2,1) satisfaz x-2y=0, mas
(2,-1)+(2,1)=(4,0) não satisfaz nem x+2y=0 nem x-2y=0.

Passo 6

V – “Três vetores linearmente dependentes de R^3 são coplanares.”
Isso é verdadeiro. Dependência linear entre três vetores em R^3 implica que seu espaço gerado tem dimensão <=2, isto é, todos estão contidos em um mesmo plano que passa pela origem.

Resposta

I – Falsa (veja contra-exemplo em Ucup V em R^2).
II – Verdadeira.
III – Falsa (ex.: (1,0),(2,0) em R^2).
IV – Falsa (soma de vetores em cada reta não fica em W).
V – Verdadeira.

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