Questão 3: Avalie se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Dê um contraexemplo nas afirmativas falsas.
I - A união de dois subespaços vetoriais é sempre um subespaço vetorial.
II - A intersecção de dois subespaços vetoriais é sempre um subespaço vetorial.
III- Um conjunto que possui
vetores é sempre base de
.
IV-
ou
é um subespaço vetorial.
- Três vetores linearmente dependentes de
são coplanares.
I - A união de dois subespaços vetoriais é sempre um subespaço vetorial.
II - A intersecção de dois subespaços vetoriais é sempre um subespaço vetorial.
III- Um conjunto que possui
IV-
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações sobre subespaços vetoriais, bases e dependência linear em
. Para resolver, vamos usar a definição de subespaço (fechado sob soma e multiplicação escalar), de base (geradora e linearmente independente) e a noção de dependência linear em espaços de dimensão finita.
Passo 2
I – “A união de dois subespaços vetoriais é sempre um subespaço vetorial.”
Isso é falso. Contra-exemplo: em , seja
e
.
Então não é fechado sob soma, pois
,
mas
.
Isso é falso. Contra-exemplo: em
Então
Passo 3
II – “A intersecção de dois subespaços vetoriais é sempre um subespaço vetorial.”
Isso é verdadeiro. Se , então
e
. Como
e
são fechados sob soma e escalar, qualquer combinação linear de
pertence a ambos, logo a
.
Isso é verdadeiro. Se
Passo 4
III – “Um conjunto que possui
vetores é sempre base de
.”
Isso é falso. Para ser base, o conjunto deve gerar e ser linearmente independente. Contra-exemplo em
: os vetores
e
formam um conjunto de 2 vetores, mas são linearmente dependentes e não geram todo
.
Isso é falso. Para ser base, o conjunto deve gerar
Passo 5
IV – “
é um subespaço vetorial.”
Isso é falso. Aqui é a união de duas retas distintas que passam pela origem, mas tal união não é fechada sob soma. Por exemplo,
satisfaz
e
satisfaz
, mas
não satisfaz nem
nem
.
Isso é falso. Aqui
Passo 6
V – “Três vetores linearmente dependentes de
são coplanares.”
Isso é verdadeiro. Dependência linear entre três vetores em implica que seu espaço gerado tem dimensão
, isto é, todos estão contidos em um mesmo plano que passa pela origem.
Isso é verdadeiro. Dependência linear entre três vetores em
Resposta
I – Falsa (veja contra-exemplo em
em
).
II – Verdadeira.
III – Falsa (ex.: em
).
IV – Falsa (soma de vetores em cada reta não fica em ).
V – Verdadeira.
II – Verdadeira.
III – Falsa (ex.:
IV – Falsa (soma de vetores em cada reta não fica em
V – Verdadeira.