Considere que
, onde
é o tensor de campo eletromagnético, provar que
é equivalente às equações de Maxwell homogéneas.
Passo 1
Neste exercício vamos mostrar que a identidade de Bianchi
é exatamente equivalente às equações homogêneas de Maxwell
Vamos usar a relação entre o tensor de campo eletromagnético
e os vetores de campo elétrico
e magnético
.
Passo 2
Em coordenadas onde
e
são índices espaciais, as componentes não nulas de
são
e lembramos que
. Também temos
e
.
Passo 3
Para os três índices todos espaciais (
) a identidade de Bianchi vira
Substituindo
e usando propriedades do símbolo de Levi-Civita, obtemos
o que é equivalente a
isto é,
Passo 4
Para dois índices espaciais e um temporal (por exemplo
) a identidade fica
Substituindo
e
resulta
o que, reorganizando índices e reconhecendo a definição de rotacional, dá
ou seja
Resposta
Componente a componente, a identidade de Bianchi produz exatamente
e
, que são as equações de Maxwell homogêneas. Portanto as duas formulações são equivalentes.