Considere que partialgamma Falpha beta equiv partial Falpha betapartial x^gamma, onde Falpha beta é o tensor de campo eletromagnético, provar que
partialgamma Falpha beta+partialalpha Fbeta gamma+partialbeta Fgamma alpha=0,
é equivalente às equações de Maxwell homogéneas.

Passo 1

Neste exercício vamos mostrar que a identidade de Bianchi
partialgamma Falpha beta + partialalpha Fbeta gamma + partialbeta Fgamma alpha = 0
é exatamente equivalente às equações homogêneas de Maxwell
nabla cdot B = 0, nabla times E + partialt B = 0
Vamos usar a relação entre o tensor de campo eletromagnético Falpha beta e os vetores de campo elétrico E e magnético B.

Passo 2

Em coordenadas onde x^0 = t e x^i são índices espaciais, as componentes não nulas de Falphabeta são
F0i = Ei,
Fij = varepsilonijk,Bk,
e lembramos que Fbetaalpha = -Falphabeta. Também temos partial0 = partial/partial t e partiali = partial/partial x^i.

Passo 3

Para os três índices todos espaciais ( alpha=i,,beta=j,,gamma=k) a identidade de Bianchi vira
partialk Fij + partiali Fjk + partialj Fki = 0
Substituindo Fij = varepsilonijell Bell e usando propriedades do símbolo de Levi-Civita, obtemos
varepsilonijell,partialk Bell + varepsilonjkell,partiali Bell + varepsilonkiell,partialj Bell = 0
o que é equivalente a
partiali Bi = 0
isto é,
nabla cdot B = 0

Passo 4

Para dois índices espaciais e um temporal (por exemplo alpha=0,,beta=i,,gamma=j) a identidade fica
partialj F0i + partial0 Fij + partiali Fj0 = 0
Substituindo F0i = Ei e Fij = varepsilonij k Bk resulta
partialj Ei + partialt (varepsilonij k Bk) - partiali Ej = 0
o que, reorganizando índices e reconhecendo a definição de rotacional, dá
(nabla times E)k + partialt Bk = 0
ou seja
nabla times E + partialt B = 0

Resposta

Componente a componente, a identidade de Bianchi produz exatamente
nabla cdot B = 0 e
nabla times E + partialt B = 0, que são as equações de Maxwell homogêneas. Portanto as duas formulações são equivalentes.

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