O movimento unidimensional de uma partícula, em relação à origem, é descrito por x(t)=4-21 / 2 t+10 / 3 t^2, onde o tempo é dado em segundos e a posição, em metros. a) Quais são as unidades de cada coeficiente? b) Qual a posição inicial da partícula? c) Qual é a posição da partícula nos instantes t=1 / 3 s e 1 / 120 min ? d) Faça um gráfico da posição em função do tempo para este movimento entre os instantes t=0 se 5 s . d ) Em que instante a partícula passa pela origem?

Passo 1

O enunciado diz que a posição da partícula é dada por x(t)=4-tfrac212t+tfrac103t^2, com t em segundos e x em metros. Vamos precisar usar unidades de cada termo, avaliação em instantes específicos, desenho de gráfico de uma função quadrática e resolução de uma equação do 2º grau.

Passo 2

Analisando cada termo de x(t)=4-tfrac212t+tfrac103t^2: o termo constante 4 é uma posição, logo está em metros. O termo -tfrac212t deve ter unidade de metro, e como t está em segundos, o coeficiente tfrac212 tem unidade metro por segundo. De forma análoga, em tfrac103t^2 o coeficiente tfrac103 tem unidade metro por segundo ao quadrado.

Passo 3

Para achar a posição inicial, basta substituir t=0 em x(t):
x(0)=4-tfrac212cdot0+tfrac103cdot0^2=4,m
Logo, a posição inicial é 4,m.

Passo 4

Para t=tfrac13,s:
xl(tfrac13r)=4-tfrac212cdottfrac13+tfrac103cdotl(tfrac13r)^2=4-3,5+0,37037approx0,87,m
Para t=tfrac1120,min=0,5,s:
x(0,5)=4-tfrac212cdot0,5+tfrac103cdot0,5^2=4-5,25+0,8333approx-0,42,m

Passo 5

A curva x(t) é uma parábola que abre para cima (coeficiente de t^2>0). Entre t=0 e t=5,s:
  • Em t=0, x=4.
  • Em t=5, x(5)=4-tfrac212cdot5+tfrac103cdot25=4-52,5+83,33=34,83,m
    O vértice ocorre em tv=-b2a=21/22cdot(10/3)=1,575,s, dando o ponto mínimo da trajetória. Basta ligar esses pontos e lembrar da forma parabólica.

Passo 6

Para encontrar quando x(t)=0, resolvemos:
tfrac103t^2-tfrac212t+4=0
Multiplicando por 6:
20t^2-63t+24=0
O discriminante é De, raizDe. Assim
t=63pm45,27640implies t1approx0,44,s, t2approx2,71,s

Resposta

a) O coeficiente constante (4) está em metros, o de t (\tfrac{21}{2}) em metros por segundo e o de t^2 (\tfrac{10}{3}) em metros por segundo ao quadrado. b) x(0)=4,m c) x(1/3,s)approx0,87,m e x(1/120,min=0,5,s)approx-0,42,m d) Gráfico: parábola que abre para cima, passando por (0,4), com mínimo em tapprox1,575,s e x(5)approx34,83,m e) Passa pela origem em tapprox0,44,s e tapprox2,71,s

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