Uma esfera sólida condutora de raio
tem uma carga positiva igual a
. Uma camada condutora de raio interno
e raio externo
é concêntrica à esfera. Esta camada possui uma carga igual a
. Usando a Lei de Gauss, calcule o vetor campo elétrico nas regiões
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera condutora sólida com raio $ a $ e carga positiva de $ 2Q $. Além dela, há uma camada condutora concêntrica com raios interno $ b $ e externo $ c $, que possui carga negativa de $ -Q $. A gente precisa usar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico $ \vec{E} $ nas seguintes regiões:
- $ r < a $
- $ a < r < b $
- $ b < r < c $
- $ r > c $
Vamos precisar entender um pouco sobre a Lei de Gauss e como ela ajuda a calcular campos elétricos em situações de simetria, como essa com esferas concêntricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante $ \varepsilon_0 $:
Como estamos trabalhando com simetria esférica, o campo elétrico $ \vec{E} $ terá a mesma magnitude em todo ponto de uma superfície esférica e será radial. Isso simplifica bastante os cálculos.
Passo 3
Vamos começar calculando o campo elétrico na região $ r < a $.
Nessa região, estamos dentro da esfera condutora sólida. Em condutores em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do material condutor é zero. Isso ocorre porque as cargas se distribuem apenas na superfície do condutor.
Portanto, para $ r < a $:
Passo 4
Agora, vamos considerar a região $ a < r < b $. Aqui, estamos entre a esfera interna de raio $ a $ e a camada condutora que começa em $ r = b $.
Nesse intervalo, a única carga que está dentro da superfície gaussiana de raio $ r $ é a carga da esfera interna, que é $ 2Q $.
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para $ E $:
Portanto, para $ a < r < b $:
Passo 5
Vamos agora para a região $ b < r < c $, que está dentro da camada condutora.
Nessa região, estamos dentro do material condutor da camada. Como em qualquer condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do condutor é zero.
Portanto, para $ b < r < c $:
Passo 6
Por fim, vamos analisar a região $ r > c $, ou seja, fora da camada condutora.
Aqui, as cargas internas se distribuem na superfície externa do condutor. A carga total dentro da superfície gaussiana de raio $ r $ é a soma das cargas da esfera interna e da camada condutora:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para $ E $:
Portanto, para $ r > c $:
Resposta
O vetor campo elétrico $ \vec{E} $ nas diferentes regiões é: