Considere uma partícula que esteja se movendo em um espaço bidimensional definido por
para
e
e
para qualquer outro valor de x e y. Escreva uma expressão para as energias correspondentes.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma partícula se movendo em um espaço bidimensional, ou seja, num plano com coordenadas x e y. A energia potencial
é zero dentro de um quadrado definido por
e
, e infinita fora desse quadrado. Isso é conhecido como uma “caixa quântica” bidimensional com paredes infinitas. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de Schrödinger para partículas em potenciais confinados e entender como as condições de contorno influenciam as energias possíveis da partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que, na mecânica quântica, a energia de uma partícula em uma caixa com paredes infinitas é quantizada, ou seja, só pode assumir certos valores específicos. Isso ocorre porque a onda da partícula precisa “encaixar” perfeitamente dentro da caixa, sem vazar para fora, o que impõe restrições nas possibilidades de energia.
Passo 3
Na dimensão unidimensional, as energias permitidas são dadas por:
onde
é um número inteiro positivo,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula e
é o comprimento da caixa.
Passo 4
Como estamos lidando com duas dimensões, x e y, as energias das duas direções se somam. Então, se temos um número quântico
para a direção x e
para a direção y, a energia total
será:
Passo 5
Podemos simplificar essa expressão colocando os termos em evidência:
Onde
e
são inteiros positivos (1, 2, 3, …).
Resposta
A expressão para as energias correspondentes é:
onde
e
são números inteiros positivos.