Considere uma partícula que esteja se movendo em um espaço bidimensional definido por V=0 para 0 e 0 e V=infty para qualquer outro valor de x e y. Escreva uma expressão para as energias correspondentes.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma partícula se movendo em um espaço bidimensional, ou seja, num plano com coordenadas x e y. A energia potencial é zero dentro de um quadrado definido por e , e infinita fora desse quadrado. Isso é conhecido como uma “caixa quântica” bidimensional com paredes infinitas. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de Schrödinger para partículas em potenciais confinados e entender como as condições de contorno influenciam as energias possíveis da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que, na mecânica quântica, a energia de uma partícula em uma caixa com paredes infinitas é quantizada, ou seja, só pode assumir certos valores específicos. Isso ocorre porque a onda da partícula precisa “encaixar” perfeitamente dentro da caixa, sem vazar para fora, o que impõe restrições nas possibilidades de energia.

Passo 3

Na dimensão unidimensional, as energias permitidas são dadas por:
En = n^2 pi^2 hbar^22m L^2
onde é um número inteiro positivo, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula e é o comprimento da caixa.

Passo 4

Como estamos lidando com duas dimensões, x e y, as energias das duas direções se somam. Então, se temos um número quântico E = nx^2 pi^2 hbar^22m L^2 + ny^2 pi^2 hbar^22m L^2 para a direção x e para a direção y, a energia total será:

Passo 5

Podemos simplificar essa expressão colocando os termos em evidência:
E = pi^2 hbar^22m L^2 ( nx^2 + ny^2 )
Onde e são inteiros positivos (1, 2, 3, …).

Resposta

A expressão para as energias correspondentes é:
E = pi^2 hbar^22m L^2 ( nx^2 + ny^2 )
onde e são números inteiros positivos.

Exercícios relacionados