Considere uma partícula que esteja se movendo em um espaço bidimensional definido por V=0 para 0 e 0 e V=infty para qualquer outro valor de x e y. Quais são os conjuntos de números quânticos do estado degenerado de menor energia?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de mecânica quântica onde uma partícula está confinada em um espaço bidimensional com potenciais de parede infinita. Nosso objetivo é identificar os conjuntos de números quânticos que correspondem ao estado de menor energia que apresenta degenerescência, ou seja, há mais de um estado com a mesma energia mínima. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula da energia em um poço quântico bidimensional e entender como os números quânticos influenciam essa energia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um poço quântico bidimensional com paredes infinitas, a energia dos estados quânticos é dada pela fórmula:
Enx,ny = hbar^2 pi^22mL^2 (nx^2 + ny^2)
Aqui, e são os números quânticos principais nas direções x e y, respectivamente, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, e é o comprimento do lado do poço quântico.

Passo 3

Para encontrar o estado de menor energia, precisamos identificar os menores valores possíveis para e , já que a energia aumenta com o aumento desses números. Os números quânticos e devem ser inteiros positivos (1, 2, 3, …).

Passo 4

Vamos começar com os menores valores para (nx, ny) = (1, 1) e E1,1 = hbar^2 pi^22mL^2 (1^2 + 1^2) = 2hbar^2 pi^22mL^2 = hbar^2 pi^2mL^2 . O menor valor permitido para cada um é 1. Portanto, temos um conjunto de números quânticos:
Calculando a energia correspondente:

Passo 5

Agora, vamos verificar se existem outros conjuntos de números quânticos que também resultam na mesma energia. Por exemplo, se escolhermos E2,1 = hbar^2 pi^22mL^2 (2^2 + 1^2) = 5hbar^2 pi^22mL^2 ou E1,2 = hbar^2 pi^22mL^2 (1^2 + 2^2) = 5hbar^2 pi^22mL^2 :
Para :
Para :
Observamos que essas energias são maiores que a energia de , então esses estados não fazem parte do menor estado de energia.

Passo 6

Vamos verificar e confirmar se há outras combinações que resultem na mesma energia mínima. Como o próximo menor valor para qualquer um dos números quânticos aumentaria a energia, não existem outros conjuntos de que resultem na mesma energia de .

Resposta

O conjunto de números quânticos do estado degenerado de menor energia é:
(nx, ny) = (1, 1)

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