Considere uma partícula que esteja se movendo em um espaço bidimensional definido por
para
e
e
para qualquer outro valor de x e y. Quais são os conjuntos de números quânticos do estado degenerado de menor energia?
Passo 1
Vamos resolver um exercício de mecânica quântica onde uma partícula está confinada em um espaço bidimensional com potenciais de parede infinita. Nosso objetivo é identificar os conjuntos de números quânticos que correspondem ao estado de menor energia que apresenta degenerescência, ou seja, há mais de um estado com a mesma energia mínima. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula da energia em um poço quântico bidimensional e entender como os números quânticos influenciam essa energia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um poço quântico bidimensional com paredes infinitas, a energia dos estados quânticos é dada pela fórmula:
Aqui,
e
são os números quânticos principais nas direções x e y, respectivamente,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula, e
é o comprimento do lado do poço quântico.
Passo 3
Para encontrar o estado de menor energia, precisamos identificar os menores valores possíveis para
e
, já que a energia aumenta com o aumento desses números. Os números quânticos
e
devem ser inteiros positivos (1, 2, 3, …).
Passo 4
Vamos começar com os menores valores para
e
. O menor valor permitido para cada um é 1. Portanto, temos um conjunto de números quânticos:
Calculando a energia correspondente:
Passo 5
Agora, vamos verificar se existem outros conjuntos de números quânticos que também resultam na mesma energia. Por exemplo, se escolhermos
ou
:
Para
:
Para
:
Observamos que essas energias são maiores que a energia de
, então esses estados não fazem parte do menor estado de energia.
Passo 6
Vamos verificar
e confirmar se há outras combinações que resultem na mesma energia mínima. Como o próximo menor valor para qualquer um dos números quânticos aumentaria a energia, não existem outros conjuntos de
que resultem na mesma energia de
.
Resposta
O conjunto de números quânticos do estado degenerado de menor energia é: