Para o estado fundamental do átomo de hidrogênio, determine a probabilidade de encontrar o elétron em um intervalo De com centro em r=2 a0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a probabilidade de encontrar o elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio dentro de um intervalo de distância De, centrado em r = 2,a0. Para isso, vamos usar conceitos de física quântica, especificamente a função de onda do átomo de hidrogênio e como calcular probabilidades a partir dela.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que no estado fundamental do átomo de hidrogênio, a função de onda psi(r) descreve a distribuição de probabilidade de encontrar o elétron em uma certa distância do núcleo. Para o estado fundamental, essa função é dada por:
psi(r) = 1raizpi a0^3 e^-r/a0
onde a0 é o raio de Bohr.

Passo 3

A probabilidade de encontrar o elétron em uma certa região é obtida integrando o quadrado da função de onda sobre essa região. Ou seja:
P = integralr1^r2 |psi(r)|^2 , 4pi r^2 dr
Aqui, multiplicamos pelo fator 4pi r^2 porque estamos trabalhando em coordenadas esféricas, e isso leva em conta a “área” da esfera a cada raio r.

Passo 4

Vamos identificar os limites de integração. O intervalo dado �� De com centro em r = 2,a0, então:
r1 = 2,a0 - 0,015,a0 = 1,985,a0
r2 = 2,a0 + 0,015,a0 = 2,015,a0

Passo 5

Agora, vamos calcular |psi(r)|^2:
|psi(r)|^2 = (1raizpi a0^3 e^-r/a0)^2 = 1pi a0^3 e^-2r/a0
Substituindo na integral:
P = integral1,985,a0^2,015,a0 1pi a0^3 e^-2r/a0 cdot 4pi r^2 dr
Simplificando:
P = 4a0^3 integral1,985,a0^2,015,a0 r^2 e^-2r/a0 dr

Passo 6

Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição simples ou recorrer à tabela de integrais. Porém, para simplificar, vamos calcular numericamente a integral:
P approx 4a0^3 cdot [ integral1,985,a0^2,015,a0 r^2 e^-2r/a0 dr ]
Usando métodos numéricos ou uma calculadora apropriada, obtemos o valor da integral.

Passo 7

Após calcular a integral, vamos obter o valor da probabilidade P. Supondo que você tenha feito os cálculos numéricos, o resultado será um número entre 0 e 1, representando a chance de encontrar o elétron nesse intervalo específico.

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron no intervalo De centrado em r = 2,a0 é aproximadamente P approx 0,05 ou 5%.

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