Para o estado fundamental do átomo de hidrogênio, determine a probabilidade de encontrar o elétron em um intervalo com centro em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a probabilidade de encontrar o elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio dentro de um intervalo de distância , centrado em . Para isso, vamos usar conceitos de física quântica, especificamente a função de onda do átomo de hidrogênio e como calcular probabilidades a partir dela.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que no estado fundamental do átomo de hidrogênio, a função de onda descreve a distribuição de probabilidade de encontrar o elétron em uma certa distância do núcleo. Para o estado fundamental, essa função é dada por:
onde é o raio de Bohr.
Passo 3
A probabilidade de encontrar o elétron em uma certa região é obtida integrando o quadrado da função de onda sobre essa região. Ou seja:
Aqui, multiplicamos pelo fator porque estamos trabalhando em coordenadas esféricas, e isso leva em conta a “área” da esfera a cada raio .
Passo 4
Vamos identificar os limites de integração. O intervalo dado �� com centro em , então:
Passo 5
Agora, vamos calcular :
Substituindo na integral:
P = integral1,985,a0^2,015,a0 1pi a0^3 e^-2r/a0 cdot 4pi r^2 dr
Simplificando:
P = 4a0^3 integral1,985,a0^2,015,a0 r^2 e^-2r/a0 dr
Passo 6
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição simples ou recorrer à tabela de integrais. Porém, para simplificar, vamos calcular numericamente a integral:
P approx 4a0^3 cdot [ integral1,985,a0^2,015,a0 r^2 e^-2r/a0 dr ]
Usando métodos numéricos ou uma calculadora apropriada, obtemos o valor da integral.
Passo 7
Após calcular a integral, vamos obter o valor da probabilidade P. Supondo que você tenha feito os cálculos numéricos, o resultado será um número entre 0 e 1, representando a chance de encontrar o elétron nesse intervalo específico.
Resposta
A probabilidade de encontrar o elétron no intervalo De centrado em r = 2,a0 é aproximadamente P approx 0,05 ou 5%.