Considere uma partícula que esteja se movendo em um espaço bidimensional definido por
para
e
e
para qualquer outro valor de x e y. Escreva as funções de onda da partícula neste poço de potencial.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de mecânica quântica que trata de uma partícula confinada em um espaço bidimensional com um poço de potencial infinito. O objetivo é encontrar as funções de onda dessa partícula dentro do poço. Para isso, vamos usar conceitos de quantização de energia e soluções da equação de Schrödinger para potenciais infinitos.
Passo 2
Primeiro, entendemos o sistema: a partícula está confinada em uma região bidimensional onde o potencial
quando
e
. Fora dessa região,
, o que significa que a partícula não pode existir fora do poço. Esse tipo de problema é conhecido como poço de potencial infinito bidimensional.
Passo 3
A próxima etapa é aplicar a equação de Schrödinger independente do tempo para esse sistema. Em duas dimensões, a equação é:
Como
dentro do poço, a equação simplifica para:
Passo 4
Assumimos que as soluções podem ser separadas nas coordenadas
e
. Ou seja,
. Substituindo na equação de Schrödinger:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Como os termos dependem apenas de
ou
, cada termo deve ser igual a uma constante. Vamos chamar
e
. Assim, a energia total
é:
Passo 6
Resolvendo as equações diferenciais para
e
:
As soluções são funções senoidais:
Passo 7
Aplicando as condições de contorno, sabendo que a função de onda deve ser zero nas fronteiras do poço (
):
Para
:
implica
.
Para
:
implica
, então
onde
O mesmo vale para
:
Passo 8
Portanto, as soluções para
e
são:
Aqui, os coeficientes foram escolhidos para garantir que as funções de onda sejam normalizadas.
Passo 9
A função de onda completa é o produto das soluções em
e
:
Resposta
As funções de onda da partícula no poço de potencial bidimensional são dadas por:
onde
e
são números inteiros positivos (
).