Considere uma partícula que esteja se movendo em um espaço bidimensional definido por V=0 para 0 e 0 e V=infty para qualquer outro valor de x e y. Escreva as funções de onda da partícula neste poço de potencial.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de mecânica quântica que trata de uma partícula confinada em um espaço bidimensional com um poço de potencial infinito. O objetivo é encontrar as funções de onda dessa partícula dentro do poço. Para isso, vamos usar conceitos de quantização de energia e soluções da equação de Schrödinger para potenciais infinitos.

Passo 2

Primeiro, entendemos o sistema: a partícula está confinada em uma região bidimensional onde o potencial quando e . Fora dessa região, , o que significa que a partícula não pode existir fora do poço. Esse tipo de problema é conhecido como poço de potencial infinito bidimensional.

Passo 3

A próxima etapa é aplicar a equação de Schrödinger independente do tempo para esse sistema. Em duas dimensões, a equação é:
-hbar^22m( partial^2 psipartial x^2 + partial^2 psipartial y^2 ) + V(x,y)psi = Epsi
Como -hbar^22m( partial^2 psipartial x^2 + partial^2 psipartial y^2 ) = Epsi dentro do poço, a equação simplifica para:

Passo 4

Assumimos que as soluções podem ser separadas nas coordenadas -hbar^22m( Y(y)d^2 Xdx^2 + X(x)d^2 Ydy^2 ) = E X(x)Y(y) e -hbar^22m( 1Xd^2 Xdx^2 + 1Yd^2 Ydy^2 ) = E . Ou seja, . Substituindo na equação de Schrödinger:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Como os termos dependem apenas de E = hbar^22m(kx^2 + ky^2) ou , cada termo deve ser igual a uma constante. Vamos chamar e . Assim, a energia total é:

Passo 6

Resolvendo as equações diferenciais para d^2 Xdx^2 + kx^2 X = 0 e d^2 Ydy^2 + ky^2 Y = 0 :
X(x) = A sin(kx x) + B cos(kx x)
Y(y) = C sin(ky y) + D cos(ky y)
As soluções são funções senoidais:

Passo 7

Aplicando as condições de contorno, sabendo que a função de onda deve ser zero nas fronteiras do poço ( ky = ny piL ny = 1,2,3,ldots ):
Para : implica .
Para : implica , então onde
O mesmo vale para :

Passo 8

Portanto, as soluções para Xnx(x) = raiz2L sin(nx pi xL) e Yny(y) = raiz2L sin(ny pi yL) são:
Aqui, os coeficientes foram escolhidos para garantir que as funções de onda sejam normalizadas.

Passo 9

A função de onda completa é o produto das soluções em psinx,ny(x,y) = Xnx(x) cdot Yny(y) = 2L sin(nx pi xL) sin(ny pi yL) e :

Resposta

As funções de onda da partícula no poço de potencial bidimensional são dadas por:
psinx,ny(x,y) = 2L sin(nx pi xL) sin(ny pi yL)
onde e são números inteiros positivos ( ).

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