Questão 3 (3.0)
Um capacitor cilindrico é composto de dois cilindros de raio r=a c r=b c comprimento L. Entre as placas encontra-se dielétrico com permissividade varepsilon, Calcule a capacitancia deste capacitor assumindo que o campo elétrico entre as placas tem a forma de campo cilíndrico radial E(r)=alpha / r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um capacitor cilíndrico feito de dois cilindros com raios e , e comprimento . Entre esses cilindros tem um material dielétrico com permissividade . A gente precisa calcular a capacitância desse capacitor, sabendo que o campo elétrico entre as placas é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss e a definição de capacitância.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a carga oint E cdot dA = Qencvarepsilon nas placas do capacitor usando a Lei de Gauss. A Lei de Gauss nos diz que:
E(r) cdot 2pi r L = Qvarepsilon
Como o campo elétrico é radial e tem a forma alphar cdot 2pi r L = Qvarepsilon Rightarrow 2pi alpha L = Qvarepsilon , escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio Q = 2pi alpha L varepsilon e comprimento . A área da superfície lateral é . Então, a integral fica:
Substituindo :
Assim, a carga é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferença de potencial V = integrala^b E(r) , dr = integrala^b alphar , dr = alpha ln(ba) entre os dois cilindros. A diferença de potencial é a integral do campo elétrico entre os raios e :

Passo 4

Com a carga C = QV e a diferença de potencial C = 2pi alpha L varepsilonalpha ln(ba) = 2pi varepsilon Lln(ba) conhecidas, podemos encontrar a capacitância usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A capacitância do capacitor cilíndrico é:
C = 2pi varepsilon Lln(ba)

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