Mostre que a densidade de probabilidade radial para o estado
de um átomo de um elétron pode ser escrita na forma
onde A é uma constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que a densidade de probabilidade radial para o estado
de um átomo de um elétron pode ser escrita na forma:
Aqui,
é uma constante. O conteúdo da matéria envolve a mecânica quântica, especificamente as funções de onda do átomo de hidrogênio. Vamos precisar usar as soluções da equação de Schrödinger para hidrogênio, entender como calcular a densidade de probabilidade e aplicar alguns conceitos de variáveis esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de onda para o átomo de hidrogênio pode ser separada em partes dependentes do radial
e angulares
. Para o estado
, a função de onda é:
Passo 3
A densidade de probabilidade é dada pelo módulo ao quadrado da função de onda:
Para obter a densidade de probabilidade radial
, precisamos considerar a probabilidade de encontrar o elétron em uma esfera de raio
. Isso envolve integrar sobre as variáveis angulares. A expressão geral é:
Onde
é o elemento de sólido angular.
Passo 4
Sabemos que a função harmônica esférica para
é:
Calculando o módulo ao quadrado:
Integrando sobre as variáveis angulares:
Passo 5
Agora, temos:
Vamos substituir a expressão da função radial
para
:
Passo 6
Calculando o módulo ao quadrado de
:
Multiplicando por
:
Onde
.
Resposta
Portanto, mostramos que a densidade de probabilidade radial para o estado
é da forma:
Onde
é uma constante que depende das constantes físicas do sistema.