Mostre que a densidade de probabilidade radial para o estado n=2, l=1, m=0 de um átomo de um elétron pode ser escrita na forma
P(r)=A cos ^2 theta r^4 e^-Z r / a0
onde A é uma constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que a densidade de probabilidade radial para o estado P(r) = A cos^2 theta , r^4 e^-Z r / a0 de um átomo de um elétron pode ser escrita na forma:
Aqui, é uma constante. O conteúdo da matéria envolve a mecânica quântica, especificamente as funções de onda do átomo de hidrogênio. Vamos precisar usar as soluções da equação de Schrödinger para hidrogênio, entender como calcular a densidade de probabilidade e aplicar alguns conceitos de variáveis esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de onda para o átomo de hidrogênio pode ser separada em partes dependentes do radial Psi2,1,0(r, theta, phi) = R2,1(r) Y1,0(theta, phi) e angulares . Para o estado , a função de onda é:

Passo 3

A densidade de probabilidade é dada pelo módulo ao quadrado da função de onda:
|Psi2,1,0(r, theta, phi)|^2 = |R2,1(r)|^2 |Y1,0(theta, phi)|^2
Para obter a densidade de probabilidade radial P(r) = |R2,1(r)|^2 integral |Y1,0(theta, phi)|^2 , dOmega times 4pi r^2 , precisamos considerar a probabilidade de encontrar o elétron em uma esfera de raio . Isso envolve integrar sobre as variáveis angulares. A expressão geral é:
Onde é o elemento de sólido angular.

Passo 4

Sabemos que a função harmônica esférica para Y1,0(theta, phi) = raiz34pi cos theta é:
|Y1,0(theta, phi)|^2 = 34pi cos^2 theta
Calculando o módulo ao quadrado:
integral |Y1,0(theta, phi)|^2 , dOmega = 34pi integral0^2pi dphi integral0^pi cos^2 theta sin theta , dtheta = 34pi times 2pi times 23 = 1
Integrando sobre as variáveis angulares:

Passo 5

Agora, temos:
P(r) = |R2,1(r)|^2 times 4pi r^2
Vamos substituir a expressão da função radial R2,1(r) = 1raiz24 ( Za0 )^3/2 ( Z ra0 ) e^-Z r / (2 a0) para :

Passo 6

Calculando o módulo ao quadrado de |R2,1(r)|^2 = 124 ( Za0 )^3 ( Z ra0 )^2 e^-Z r / a0 :
P(r) = 124 ( Za0 )^3 ( Z ra0 )^2 e^-Z r / a0 times 4pi r^2 = A , r^4 e^-Z r / a0
Multiplicando por :
Onde .

Resposta

Portanto, mostramos que a densidade de probabilidade radial para o estado P(r) = A cos^2 theta , r^4 e^-Z r / a0 é da forma:
Onde é uma constante que depende das constantes físicas do sistema.

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