Considere uma partícula livre.
a) Mostre, utilizando o teorema de Ehrenfest, que
é uma função linear do tempo, o valor médio
permanecendo constante.
b) Escreva as equações do movimento para os valores médios
e
. Integre estas equações.
c) Mostre que, com uma escolha apropriada para a origem temporal, o desvio médio quadrático
é dado por:
onde
e
são os desvios médios quadráticos no tempo inicial.
a) Mostre, utilizando o teorema de Ehrenfest, que
b) Escreva as equações do movimento para os valores médios
c) Mostre que, com uma escolha apropriada para a origem temporal, o desvio médio quadrático
Passo 1
O enunciado fala de uma partícula livre (potencial V=0) e pede (a) mostrar que
cresce linearmente e
é constante usando o teorema de Ehrenfest, (b) escrever e integrar as equações de movimento para
e
, e © mostrar que, escolhendo adequadamente a origem do tempo, o desvio quadrático
evolui como
. Para isso vamos usar o teorema de Ehrenfest:
.
Passo 2
Aplicando esse teorema em
e no Hamiltoniano livre
, temos
.
Como , conclui-se
.
Para , o comutador
é zero, logo
.
Integrando, é constante e
.
Como
Para
Integrando,
Passo 3
Para obter a equação de movimento de
, aplicamos o teorema:
.
Usando , achamos
.
Usando
Passo 4
De forma análoga, para
vem
.
Passo 5
Integrando essas duas equações com as condições iniciais em
:
,
.
Passo 6
O desvio quadrático é
. Escrevendo
e escolhendo a origem do tempo de modo que
e
, o termo linear em
desaparece, restando
.
Resposta
(\Delta X)^2=(\Delta X)_0^2+\frac{(\Delta P)_02}{m2}t^2