Considere uma partícula livre.
a) Mostre, utilizando o teorema de Ehrenfest, que lang<= Xrang<= é uma função linear do tempo, o valor médio lang<= Prang<= permanecendo constante.
b) Escreva as equações do movimento para os valores médios lang<= X P+P Xrang<= e De. Integre estas equações.
c) Mostre que, com uma escolha apropriada para a origem temporal, o desvio médio quadrático (De é dado por:
(De
onde (De e são os desvios médios quadráticos no tempo inicial.

Passo 1

O enunciado fala de uma partícula livre (potencial V=0) e pede (a) mostrar que lang<= Xrang<= cresce linearmente e lang<= Prang<= é constante usando o teorema de Ehrenfest, (b) escrever e integrar as equações de movimento para lang<= X^2rang<= e lang<= XP+PXrang<=, e © mostrar que, escolhendo adequadamente a origem do tempo, o desvio quadrático (De evolui como (De. Para isso vamos usar o teorema de Ehrenfest: tfracddtlang<= Arang<==tfrac1ihbarlang<=[A,H]rang<=+lang<=partial A/partial trang<=.

Passo 2

Aplicando esse teorema em A=X e no Hamiltoniano livre H=P^2/(2m), temos
tfracddtlang<= Xrang<==tfrac1ihbarlang<=[X,P^2/(2m)]rang<=.
Como [X,P^2]=2ihbar P, conclui-se
tfracddtlang<= Xrang<==lang<= Prang<=/m.
Para A=P, o comutador [P,P^2] é zero, logo
tfracddtlang<= Prang<==0.
Integrando, lang<= Prang<= é constante e
lang<= Xrang<==lang<= Prang<= t/m+lang<= Xrang<=0.

Passo 3

Para obter a equação de movimento de lang<= X^2rang<=, aplicamos o teorema:
tfracddtlang<= X^2rang<==tfrac1ihbarlang<=[X^2,H]rang<=.
Usando [X^2,P^2]=2ihbar(XP+PX), achamos
tfracddtlang<= X^2rang<==lang<= XP+PXrang<=/m.

Passo 4

De forma análoga, para A=XP+PX vem
tfracddtlang<= XP+PXrang<==tfrac1ihbarlang<=[XP+PX,H]rang<==2lang<= P^2rang<=/m.

Passo 5

Integrando essas duas equações com as condições iniciais em t=0:
lang<= XP+PXrang<==tfrac2lang<= P^2rang<=mt+lang<= XP+PXrang<=0,
lang<= X^2rang<==tfraclang<= P^2rang<=m^2t^2+tfraclang<= XP+PXrang<=0mt+lang<= X^2rang<=0.

Passo 6

O desvio quadrático é (De. Escrevendo lang<= Xrang<==lang<= Prang<= t/m+lang<= Xrang<=0 e escolhendo a origem do tempo de modo que lang<= Xrang<=0=0 e lang<= XP+PXrang<=0=0, o termo linear em t desaparece, restando
(De.

Resposta

(\Delta X)^2=(\Delta X)_0^2+\frac{(\Delta P)_02}{m2}t^2

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