Considere um sistema físico cujo espaço de estado, que é 3-dim, é gerado pelo conjunto de base formado pelos três kets . Nesta base, o operador Hamiltoniano do sistema e as duas observáveis e possuem a seguinte representação matricial:
onde b e t=0 são constantes reais positivais.
O estado do sistema no tempo |psi(0)rang<= é descrito pelo ket |psi(0)rang<==1raiz2|u1rang<=+12|u2rang<=+12|u3rang<= :
t=0
a) No tempo |psi(0)rang<=, a energia do sistema é medida. Que valores podem ser encontrados e com que probabilidades? Calcule, para o sistema no estado lang<= Hrang<=, o valor médio De e o desvio médio quadrático H.
b) Ao invés de medir t=0 no tempo A, mede-se |psi(t)rang<=; que resultados podem ser obtidos e com que probabilidades? Qual é o vetor de estado imediatamente após a medida?
c) Calcule o vetor de estado t do sistema no tempo lang<= Arang<=(t).
d) Calcule os valores médios lang<= Brang<=(t) e A de B e de t no tempo A. Comente.
e) Que resultados são obtidos se a observável t é medida no tempo B ? Mesmo para . Interprete.
Passo 1
O enunciado trata de um sistema quântico de dimensão 3 cujas matrizes do Hamiltoniano H e das observáveis A e B estão dadas em uma base |uirang<=i=1^3. Precisamos usar conceitos de medida quântica (autovalores, probabilidades), evolução temporal unitaría e cálculo de valores esperados e dispersões para responder cinco itens (a–e).
Passo 2
Para o item (a), notamos que H é diagonal com autovalores E1=hbaromega0 (associado a |u1rang<=) e E2=E3=2hbaromega0 (associados a |u2rang<= e |u3rang<=). As probabilidades na medida de energia em |psi(0)rang<==tfrac1raiz2|u1rang<=+tfrac12|u2rang<=+tfrac12|u3rang<= são
lang<= Hrang<==sumiP(Ei)Ei=tfrac12hbaromega0+tfrac14(2hbaromega0)+tfrac14(2hbaromega0)=hbaromega0,
e a variância é lang<= H^2rang<==tfrac12(hbaromega0)^2+tfrac12(2hbaromega0)^2=tfrac52hbar^2omega0^2,(De
Passo 4
No item (b) diagonalizamos A: autovalores +a (subespaço gerado por |u1rang<= e (|u2rang<=+|u3rang<=)/raiz2) e -a (autovetor (|u2rang<=-|u3rang<=)/raiz2). Projetando |psi(0)rang<= vemos que toda amplitude está no autovalor +a, logo
P(+a)=1, P(-a)=0
Passo 5
O estado colapsado é a projeção de |psi(0)rang<= no subespaço +a, que já é exatamente |psi(0)rang<=.
e) Medir A em qualquer t sempre dá +a. Medir B dá P(+b)=5/8+1/(2raiz2)cos(omega0t),;P(-b)=3/8-1/(2raiz2)cos(omega0t),
o que evidencia oscilações quânticas.