Considere um sistema físico cujo espaço de estado, que é 3-dim, é gerado pelo conjunto de base formado pelos três kets H. Nesta base, o operador Hamiltoniano A do sistema e as duas observáveis B e (H)=(ccc hbar omega0 & 0 & 0 0 & 2 hbar omega0 & 0 0 & 0 & 2 hbar omega0 ),(A)=(ccc a & 0 & 0 0 & 0 & a 0 & a & 0 ),(B)=(ccc 0 & b & 0 b & 0 & 0 0 & 0 & b ) possuem a seguinte representação matricial:
omega0, a
onde b e t=0 são constantes reais positivais.
O estado do sistema no tempo |psi(0)rang<= é descrito pelo ket |psi(0)rang<==1raiz2|u1rang<=+12|u2rang<=+12|u3rang<= :
t=0
a) No tempo |psi(0)rang<=, a energia do sistema é medida. Que valores podem ser encontrados e com que probabilidades? Calcule, para o sistema no estado lang<= Hrang<=, o valor médio De e o desvio médio quadrático H.
b) Ao invés de medir t=0 no tempo A, mede-se |psi(t)rang<=; que resultados podem ser obtidos e com que probabilidades? Qual é o vetor de estado imediatamente após a medida?
c) Calcule o vetor de estado t do sistema no tempo lang<= Arang<=(t).
d) Calcule os valores médios lang<= Brang<=(t) e A de B e de t no tempo A. Comente.
e) Que resultados são obtidos se a observável t é medida no tempo B ? Mesmo para . Interprete.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema quântico de dimensão 3 cujas matrizes do Hamiltoniano H e das observáveis A e B estão dadas em uma base |uirang<=i=1^3. Precisamos usar conceitos de medida quântica (autovalores, probabilidades), evolução temporal unitaría e cálculo de valores esperados e dispersões para responder cinco itens (a–e).

Passo 2

Para o item (a), notamos que H é diagonal com autovalores E1=hbaromega0 (associado a |u1rang<=) e E2=E3=2hbaromega0 (associados a |u2rang<= e |u3rang<=). As probabilidades na medida de energia em |psi(0)rang<==tfrac1raiz2|u1rang<=+tfrac12|u2rang<=+tfrac12|u3rang<= são
P(E1)=|1raiz2|^2=tfrac12, P(E2)=|tfrac12|^2=tfrac14, P(E3)=|tfrac12|^2=tfrac14

Passo 3

O valor médio de H é
lang<= Hrang<==sumiP(Ei)Ei=tfrac12hbaromega0+tfrac14(2hbaromega0)+tfrac14(2hbaromega0)=hbaromega0,
e a variância é
lang<= H^2rang<==tfrac12(hbaromega0)^2+tfrac12(2hbaromega0)^2=tfrac52hbar^2omega0^2,(De

Passo 4

No item (b) diagonalizamos A: autovalores +a (subespaço gerado por |u1rang<= e (|u2rang<=+|u3rang<=)/raiz2) e -a (autovetor (|u2rang<=-|u3rang<=)/raiz2). Projetando |psi(0)rang<= vemos que toda amplitude está no autovalor +a, logo
P(+a)=1, P(-a)=0

Passo 5

O estado colapsado é a projeção de |psi(0)rang<= no subespaço +a, que já é exatamente |psi(0)rang<=.

Passo 6

Para o item ©, como H é diagonal, a evolução é só fatores de fase:
|psi(t)rang<==1raiz2e^-iomega0t|u1rang<=+12e^-i2omega0t|u2rang<=+12e^-i2omega0t|u3rang<=

Passo 7

No item (d) calculamos
lang<= Arang<=(t)=lang<=psi(t)|A|psi(t)rang<==a(constante, pois [H,A]=0),
lang<= Brang<=(t)=b|c3|^2+2bRel[c1^*c2e^-iomega0tr]= b4+ braiz2cos(omega0t),

Passo 8

mostrando que A não varia no tempo enquanto B oscila com frequência omega0.

Passo 9

Finalmente, em (e) medir A em qualquer t dá sempre +a com probabilidade 1. Medir B em t leva a autovalores +b e -b com probabilidades
P(+b)=58+12raiz2cos(omega0t), P(-b)=38-12raiz2cos(omega0t),

Passo 10

o que reflete as oscilações de interferência quântica.

Resposta

a) Autovalores de H: E1=hbaromega0 (prob. 1/2), E2=2hbaromega0 (prob. 1/4) e E3=2hbaromega0 (prob. 1/4). Média lang<= Hrang<==hbaromega0, De.
b) Autovalores de A: +a (degenerado) e -a. Em |psi(0)rang<= temos P(+a)=1, P(-a)=0. Estado pós-medida permanece |psi(0)rang<=.
c) Evolução: |psi(t)rang<==tfrac1raiz2e^-iomega0t|u1rang<=+tfrac12e^-i2omega0t|u2rang<=+tfrac12e^-i2omega0t|u3rang<=.
d) lang<= Arang<=(t)=a (constante),
lang<= Brang<=(t)=tfrac b4+tfrac braiz2cos(omega0t).
e) Medir A em qualquer t sempre dá +a. Medir B
P(+b)=5/8+1/(2raiz2)cos(omega0t),;P(-b)=3/8-1/(2raiz2)cos(omega0t),
o que evidencia oscilações quânticas.

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