Verifique que as seguintes funções são representações da “função”
, quando
é positivo e real
Passo 1
Enunciado: queremos verificar que a família de funções
$$
f_\varepsilon(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\exp\Bigl(-\frac{x^2}{\varepsilon}\Bigr), \quad\varepsilon>0, $$
comporta-se como a distribuição de Dirac . Para isso, vamos mostrar que (i)
para
e (ii)
.
comporta-se como a distribuição de Dirac
Passo 2
Mostrando que
para
:
Se , então
quando
. Logo
Se
$$
f_\varepsilon(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi,\varepsilon}},e{-x2/\varepsilon} \longrightarrow0, $$
pois o exponencial decai muito mais rápido que cresce.
pois o exponencial decai muito mais rápido que
Passo 3
Calculando a massa total:
$$
\int_{-\infty}{\infty}f_\varepsilon(x),dx=\int_{-\infty}{\infty}\frac{1}{\sqrt{\pi,\varepsilon}},e{-x2/\varepsilon},dx.
\int_{-\infty}{\infty}f_\varepsilon(x),dx=\frac{1}{\sqrt{\pi,\varepsilon}}\int_{-\infty}{\infty}e{-u2},\sqrt{\varepsilon},du=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}{\infty}e{-u^2},du=1. $$
Passo 4
Conclusão: a família
tende a zero para todo
e tem integral unitária. Portanto, no sentido das distribuições,
$$
\delta(x)=\lim_{\varepsilon\to0}f_\varepsilon(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\lim_{\varepsilon\to0}\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}e{-x2/\varepsilon}. $$
Resposta
A família de Gaussianas
satisfaz
para
e tem massa total unitária. Logo, ela representa a distribuição delta de Dirac,