Verifique que as seguintes funções são representações da “função”
de, quando epsilon é positivo e real

Passo 1

Enunciado: queremos verificar que a família de funções
$$
f_\varepsilon(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\exp\Bigl(-\frac{x^2}{\varepsilon}\Bigr), \quad\varepsilon>0, $$
comporta-se como a distribuição de Dirac fvarepsilon(x)=1raizpi1raizvarepsilonexpl(-x^2varepsilonr), varepsilon>0, . Para isso, vamos mostrar que (i) de para fvarepsilon(x)to0 e (ii) xneq0.

Passo 2

Mostrando que fvarepsilon(x)to0 para xneq0:
Se xneq0, então x^2/varepsilonto+infty quando varepsilonto0. Logo
$$
f_\varepsilon(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi,\varepsilon}},e{-x2/\varepsilon} \longrightarrow0, $$
pois o exponencial decai muito mais rápido que fvarepsilon(x)=1raizpi,varepsilon,e^-x^2/varepsilon longrightarrow0, cresce.

Passo 3

Calculando a massa total:
$$
\int_{-\infty}{\infty}f_\varepsilon(x),dx=\int_{-\infty}{\infty}\frac{1}{\sqrt{\pi,\varepsilon}},e{-x2/\varepsilon},dx. integral-infty^inftyfvarepsilon(x),dx=integral-infty^infty1raizpi,varepsilon,e^-x^2/varepsilon,dx çã
\int_{-\infty}{\infty}f_\varepsilon(x),dx=\frac{1}{\sqrt{\pi,\varepsilon}}\int_{-\infty}{\infty}e{-u2},\sqrt{\varepsilon},du=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}{\infty}e{-u^2},du=1. $$

Passo 4

Conclusão: a família fvarepsilon(x) tende a zero para todo xneq0 e tem integral unitária. Portanto, no sentido das distribuições,
$$
\delta(x)=\lim_{\varepsilon\to0}f_\varepsilon(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\lim_{\varepsilon\to0}\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}e{-x2/\varepsilon}. $$

Resposta

A família de Gaussianas fvarepsilon(x)=1raizpivarepsilone^-x^2/varepsilon satisfaz fvarepsilon(x)to0 para xneq0 e tem massa total unitária. Logo, ela representa a distribuição delta de Dirac,
de

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