Encontre a função de onda independente do tempo, un(x), normalizada para o estado de energia de ordem n da caixa, n=1,2,3, ldots.

Passo 1

Então, galera, o que temos aqui é um exercício sobre encontrar a função de onda independente do tempo, denotada por $ u_{n}(x) $, para um estado de energia específico $ n $ dentro de uma caixa quântica. Isso faz parte do estudo de mecânica quântica, mais precisamente do modelo da partícula na caixa. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações de Schrödinger e como aplicar as condições de contorno para normalizar a função de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a caixa quântica. Imagine uma partícula que está confinada entre duas paredes rígidas, digamos entre $ x = 0 $ e $ x = L $. A partícula não pode existir fora desses limites, então a função de onda deve ser zero nas bordas: $ u_n(0) = u_n(L) = 0 $.

Passo 3

A equação que descreve a função de onda independente do tempo é a Equação de Schrödinger Dependente do Tempo, mas como estamos interessados na parte estacionária, usamos a Equação de Schrödinger Independente do Tempo:
-hbar^22m d^2 un(x)dx^2 = En un(x)
Aqui, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ m $ é a massa da partícula, e $ E_n $ é a energia do estado $ n $.

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para facilitar a solução:
d^2 un(x)dx^2 + kn^2 un(x) = 0
onde $ k_n = \frac{\sqrt{2mE_n}}{\hbar} $. Essa é uma equação diferencial comum cujas soluções são funções trigonométricas, como seno e cosseno.

Passo 5

As soluções gerais para essa equação são combinações de seno e cosseno:
un(x) = A sin(kn x) + B cos(kn x)
Mas, aplicando as condições de contorno $ u_n(0) = 0 $ e $ u_n(L) = 0 $, podemos determinar os coeficientes $ A $ e $ B $.

Passo 6

Aplicando $ u_n(0) = 0 $:
un(0) = 0
Então, a função de onda simplifica para:
un(0) = A sin(0) + B cos(0) = B = 0

Passo 7

Agora, aplicamos a condição $ u_n(L) = 0 $:
un(L) = 0
Para que essa equação seja verdadeira, $ \sin(k_n L) = 0 $. Isso acontece quando:
un(L) = A sin(kn L) = 0

Passo 8

Resolvendo para $ k_n $:
kn
Substituindo de volta na função de onda:
kn = n piL

Passo 9

Agora, precisamos normalizar a função de onda, ou seja, garantir que a probabilidade total de encontrar a partícula na caixa seja 1. Isso significa que:
integral0^L |un(x)|^2 dx = 1
Substituindo $ u_n(x) $:
un(x)

Passo 10

Calculando a integral:
integral0^L sin^2(n pi xL) dx = L2
Então:
A^2 cdot L2 = 1 Rightarrow A = raiz2L

Resposta

Portanto, a função de onda independente do tempo, normalizada para o estado de energia de ordem $ n $ da caixa, é:
n

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