Considere que uma partícula de massa 8,1 kg possa ser colocada no interior da Terra, numa profundidade de 792 km (medida a partir do nível do mar). Calcule a força gravitacional exercida pelo planeta sobre esta partícula.
Dados:
  • Constante gravitacional: 6,67 times 10^-11 N cdot m^2 / kg^2
  • Massa do Terra: 5,97×10 ^24 kg
  • Raio da Terra: 6,37×10 m
  • Considere que Terra é perfeitamente esférica e possui densidade uniforme.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma partícula de massa 8,1,kg colocada dentro da Terra, a uma profundidade de 792,km a partir do nível do mar. Nosso objetivo é calcular a força gravitacional que a Terra exerce sobre essa partícula.
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com a Lei da Gravitação Universal de Newton, que nos ajuda a calcular a força gravitacional entre dois corpos.
O que vamos precisar:
  • Entender como a gravidade funciona dentro da Terra.
  • Usar a fórmula da Lei da Gravitação Universal.
  • Considerar a Terra como uma esfera de densidade uniforme.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir a distância da partícula até o centro da Terra. Sabemos que a profundidade é de 792,km e o raio da Terra é aproximadamente 6,37 times 10^6,m (ou 6.37 times 10^3,km).
Cálculo:
Distância do centro = Raio da Terra - Profundidade â
Distância do centro = 6.37 times 10^3,km - 792,km = 5.578 times 10^3,km = 5.578 times 10^6,m â

Passo 3

Agora, precisamos calcular a massa da Terra que está “acontecendo” dentro dessa distância do centro. Como a Terra tem densidade uniforme, a massa que exerce força sobre a partícula é proporcional ao volume até aquele ponto.
A massa dentro de um raio r é dada por:
M(r) = MTerra ( rR )^3
onde:
  • MTerra = 5.97 times 10^24,kg
  • R = 6.37 times 10^6,m
  • r = 5.578 times 10^6,m
Cálculo:
M(r) = 5.97 times 10^24,kg ( 5.578 times 10^6,m6.37 times 10^6,m )^3
M(r) approx 5.97 times 10^24,kg times ( 0.875 )^3 approx 5.97 times 10^24,kg times 0.669 approx 3.99 times 10^24,kg

Passo 4

Agora, vamos calcular a aceleração gravitacional nessa profundidade usando a Lei da Gravitação Universal de Newton:
F = G M(r) cdot mr^2
onde:
  • G = 6.67 times 10^-11,N cdot m^2/kg^2
  • M(r) = 3.99 times 10^24,kg
  • m = 8.1,kg
  • r = 5.578 times 10^6,m
Cálculo:
F = 6.67 times 10^-11 times 3.99 times 10^24 times 8.1(5.578 times 10^6)^2
F = 6.67 times 10^-11 times 3.23 times 10^253.11 times 10^13 approx 6.67 times 10^-11 times 1.04 times 10^12 approx 6.94 times 10^1,N

Resposta

A força gravitacional exercida pela Terra sobre a partícula é aproximadamente 6.94 times 10^1,N.

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