O vetor posição
de um ponto qualquer
no plano
fica também completamente caracterizado pelo seu módulo
e pelo ângulo
que faz com o eixo
(
e
são chamadas coordenadas polares). Resolva o exercício completo conforme descrito abaixo:
Expresse:
o vetor
em termos dos unitários
e
;
Expresse:
o vetor
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor posição
que representa a posição de um ponto
no plano
. A tarefa é expressar esse vetor em termos dos unitários
e
, que são as direções radial e tangencial nas coordenadas polares. Para isso, vamos precisar usar a definição das coordenadas polares e como transformar vetores entre os sistemas de coordenadas cartesianas e polares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas polares, qualquer ponto
pode ser definido por sua distância à origem, que é
, e pelo ângulo
que a linha que liga a origem a
forma com o eixo
. Os unitários
e
são vetores unitários nas direções radial e tangencial, respectivamente.
Passo 3
O vetor posição
aponta da origem até o ponto
. Em coordenadas cartesianas, ele pode ser representado como
. Mas queremos expressá-lo em termos de
e
. Sabemos que:
Passo 4
Expressando
em termos de
e
, temos:
Isso ocorre porque
tem magnitude
na direção de
, e como
é perpendicular a
, não há componente tangencial no vetor posição.
Resposta
Portanto, o vetor posição
pode ser expresso em termos dos unitários polares da seguinte forma: