O vetor posição r de um ponto qualquer P no plano x, y fica também completamente caracterizado pelo seu módulo r e pelo ângulo theta que faz com o eixo x ( r e theta são chamadas coordenadas polares). Resolva o exercício completo conforme descrito abaixo:
Expresse:
o vetor r em termos dos unitários r e theta;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor posição r que representa a posição de um ponto P no plano x, y. A tarefa é expressar esse vetor em termos dos unitários r e theta, que são as direções radial e tangencial nas coordenadas polares. Para isso, vamos precisar usar a definição das coordenadas polares e como transformar vetores entre os sistemas de coordenadas cartesianas e polares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas polares, qualquer ponto P pode ser definido por sua distância à origem, que é r, e pelo ângulo theta que a linha que liga a origem a P forma com o eixo x. Os unitários r e theta são vetores unitários nas direções radial e tangencial, respectivamente.

Passo 3

O vetor posição r aponta da origem até o ponto P. Em coordenadas cartesianas, ele pode ser representado como r = x i + y j. Mas queremos expressá-lo em termos de r e theta. Sabemos que:
r = cos theta , i + sin theta , j
theta = -sin theta , i + cos theta , j

Passo 4

Expressando r em termos de r e theta, temos:
r = r r
Isso ocorre porque r tem magnitude r na direção de r, e como theta é perpendicular a r, não há componente tangencial no vetor posição.

Resposta

Portanto, o vetor posição r pode ser expresso em termos dos unitários polares da seguinte forma:
r = r r

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