O vetor posição r de um ponto qualquer P no plano x, y fica também completamente caracterizado pelo seu módulo r e pelo ângulo theta que faz com o eixo x ( r e theta são chamadas coordenadas polares). Resolva o exercício completo conforme descrito abaixo:
Expresse:
os unitários i e j em termos de r e theta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está falando sobre como podemos representar os vetores unitários i e j, que usamos nas coordenadas cartesianas, usando r e theta, que são os vetores unitários nas coordenadas polares. Então, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas polares e como os vetores se relacionam nesses sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são esses vetores unitários. No sistema cartesiano:
  • i aponta na direção positiva do eixo x.
  • j aponta na direção positiva do eixo y.
Nas coordenadas polares:
  • r aponta na direção do raio, ou seja, na direção de P em relação à origem.
  • theta é perpendicular a r e aponta na direção em que o ângulo theta está aumentando.

Passo 3

Agora, para expressar i e j em termos de r e theta, precisamos relacionar essas direções. Imagine que você tem um ângulo theta a partir do eixo x. O vetor i pode ser decomposto em duas partes:
  • Uma na direção de r: que é cos(theta).
  • Outra na direção de theta: que é -sin(theta).
Então, temos:
i = cos(theta), r - sin(theta), theta

Passo 4

De maneira semelhante, o vetor j também pode ser decomposto:
  • Uma na direção de r: que é sin(theta).
  • Outra na direção de theta: que é cos(theta).
Assim, fica:
j = sin(theta), r + cos(theta), theta

Resposta

Portanto, os vetores unitários i e j em termos de r e theta são:
i = cos(theta), r - sin(theta), theta
j = sin(theta), r + cos(theta), theta

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