O vetor posição
de um ponto qualquer
no plano
fica também completamente caracterizado pelo seu módulo
e pelo ângulo
que faz com o eixo
(
e
são chamadas coordenadas polares). Resolva o exercício completo conforme descrito abaixo:
Expresse:
os unitários
e
em termos de
e
.
Expresse:
os unitários
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está falando sobre como podemos representar os vetores unitários
e
, que usamos nas coordenadas cartesianas, usando
e
, que são os vetores unitários nas coordenadas polares. Então, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas polares e como os vetores se relacionam nesses sistemas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são esses vetores unitários. No sistema cartesiano:
-
aponta na direção positiva do eixo x. -
aponta na direção positiva do eixo y.
Nas coordenadas polares:
-
aponta na direção do raio, ou seja, na direção de P em relação à origem. -
é perpendicular a e aponta na direção em que o ângulo está aumentando.
Passo 3
Agora, para expressar
e
em termos de
e
, precisamos relacionar essas direções. Imagine que você tem um ângulo
a partir do eixo x. O vetor
pode ser decomposto em duas partes:
- Uma na direção de
: que é . - Outra na direção de
: que é .
Então, temos:
Passo 4
De maneira semelhante, o vetor
também pode ser decomposto:
- Uma na direção de
: que é . - Outra na direção de
: que é .
Assim, fica:
Resposta
Portanto, os vetores unitários
e
em termos de
e
são: