Um foguete com variação de massa é governado pela equação F=dd t(m v), onde m é a massa do foguete e v é a velocidade. Considere que a massa varia com o tempo como m(t)=m0-alpha t, e a força exercida pelo foguete é constante. Determine a velocidade do foguete v(t) em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um foguete cuja massa muda com o tempo, e precisamos encontrar a velocidade dele em função do tempo. Aqui, estamos trabalhando com Mecânica, mais especificamente com a Segunda Lei de Newton para sistemas de massa variável. Vamos precisar usar a equação fornecida $ F = \frac{d}{dt}(m v) $, onde $ F $ é a força constante, $ m(t) = m_0 - \alpha t $ é a massa que varia no tempo, e $ v(t) $ é a velocidade que queremos descobrir.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a equação $ F = \frac{d}{dt}(m v) $. Usando a regra do produto da derivada, temos:
F = ddt(m v)
Aqui, estamos separando a derivada do produto $ m v $ em duas partes: uma relacionada à mudança de velocidade e outra à mudança de massa.

Passo 3

Sabemos que a força $ F $ é constante e a massa $ m(t) = m_0 - \alpha t $. Vamos calcular $ \frac{dm}{dt} $:
F
Agora, substituímos $ \frac{dm}{dt} $ na equação expandida:
m(t) = m0 - alpha t
Ou seja:
dmdt

Passo 4

Queremos isolar $ \frac{dv}{dt} $. Vamos rearranjar a equação:
dvdt
m dvdt = F + alpha v
Substituindo $ m = m_0 - \alpha t $:
dvdt = Fm + alpham v

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear. Para resolver, podemos usar o fator integrante. A forma geral é:
dvdt + P(t) v = Q(t)
Onde $ P(t) = -\frac{\alpha}{m_0 - \alpha t} $ e $ Q(t) = \frac{F}{m_0 - \alpha t} $.
O fator integrante $ \mu(t) $ é:
Multiplicando a equação diferencial por $ \mu(t) $:
P(t) = -alpham0 - alpha t
Agora, integremos ambos os lados:
Q(t) = Fm0 - alpha t
mu(t)
Onde $ C $ é a constante de integração. Assumindo que no tempo $ t = 0 $, a velocidade $ v = 0 $:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral -alpham0 - alpha t dt = e^ln(m0 - alpha t) = m0 - alpha t
Então:
mu(t)

Resposta

A velocidade do foguete em função do tempo é:
v(t) = F tm0 - alpha t

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