Um foguete com variação de massa é governado pela equação
, onde
é a massa do foguete e
é a velocidade. Considere que a massa varia com o tempo como
, e a força exercida pelo foguete é constante. Determine a velocidade do foguete
em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um foguete cuja massa muda com o tempo, e precisamos encontrar a velocidade dele em função do tempo. Aqui, estamos trabalhando com Mecânica, mais especificamente com a Segunda Lei de Newton para sistemas de massa variável. Vamos precisar usar a equação fornecida $ F = \frac{d}{dt}(m v) $, onde $ F $ é a força constante, $ m(t) = m_0 - \alpha t $ é a massa que varia no tempo, e $ v(t) $ é a velocidade que queremos descobrir.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir a equação $ F = \frac{d}{dt}(m v) $. Usando a regra do produto da derivada, temos:
Aqui, estamos separando a derivada do produto $ m v $ em duas partes: uma relacionada à mudança de velocidade e outra à mudança de massa.
Passo 3
Sabemos que a força $ F $ é constante e a massa $ m(t) = m_0 - \alpha t $. Vamos calcular $ \frac{dm}{dt} $:
Agora, substituímos $ \frac{dm}{dt} $ na equação expandida:
Ou seja:
Passo 4
Queremos isolar $ \frac{dv}{dt} $. Vamos rearranjar a equação:
Substituindo $ m = m_0 - \alpha t $:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial linear. Para resolver, podemos usar o fator integrante. A forma geral é:
Onde $ P(t) = -\frac{\alpha}{m_0 - \alpha t} $ e $ Q(t) = \frac{F}{m_0 - \alpha t} $.
O fator integrante $ \mu(t) $ é:
Multiplicando a equação diferencial por $ \mu(t) $:
Agora, integremos ambos os lados:
Onde $ C $ é a constante de integração. Assumindo que no tempo $ t = 0 $, a velocidade $ v = 0 $:
Então:
Resposta
A velocidade do foguete em função do tempo é: