O vetor posição r de um ponto qualquer P no plano x, y fica também completamente caracterizado pelo seu módulo r e pelo ângulo theta que faz com o eixo x ( r e theta são chamadas coordenadas polares). Resolva o exercício completo conforme descrito abaixo:
Expresse:
  1. o vetor r em termos dos unitários i e j;
  2. o vetor r em termos dos unitários r e theta;
  3. os unitários r e theta em termos de i e j;
  4. os unitários i e j em termos de r e theta.
    Mostre também que:
v=dotr r+r dottheta theta
e que
a=(ddotr-r dottheta^2) r+(2 dotr dottheta+r ddottheta) theta,
onde pontos sobre as letras significam, por convenção, derivadas em relação ao tempo. Obtenha os casos particulares para o movimento circular.
(Exercício 1.5 completamente resolvido no livro do Barcelos, de suma importância ao longo da disciplina).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre vetores posição no plano, usando coordenadas polares. Basicamente, a gente vai trabalhar com os vetores r, que representa a posição de um ponto P, e precisa expressá-lo de diferentes maneiras usando unitários diferentes. Além disso, vamos explorar como calcular a velocidade v e a aceleração a desse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de coordenadas polares, vetores em diferentes sistemas de referência e como derivar expressões para velocidade e aceleração.

Passo 2

1. Expressar o vetor r em termos dos unitários i e j.
Primeiro, vamos lembrar que no sistema de coordenadas cartesianas, qualquer vetor pode ser expresso em termos dos unitários i e j, que apontam nas direções dos eixos x e y, respectivamente. Em coordenadas polares, a posição é dada por r (a distância até a origem) e theta (o ângulo com o eixo x).
A relação entre as coordenadas polares e cartesianas é dada por:
x = r costheta y = r sintheta
Então, o vetor posição r pode ser escrito como:
r = x i + y j = r costheta , i + r sintheta , j

Passo 3

2. Expressar o vetor r em termos dos unitários r e theta.
No sistema de coordenadas polares, usamos os unitários r e theta, onde r aponta na direção radial (da origem para o ponto) e theta é perpendicular a r, na direção de aumento de theta.
O vetor posição r, por definição, está inteiramente na direção radial. Portanto, não tem componente na direção de theta. Assim, podemos escrever:
r = r r

Passo 4

3. Expressar os unitários r e theta em termos de i e j.
Para relacionar os unitários polares com os cartesianas, usamos as funções trigonométricas do ângulo theta.
O unitário radial r aponta na direção de r:
r = costheta , i + sintheta , j
O unitário angular theta é perpendicular a r e aponta na direção de aumento de theta:
theta = -sintheta , i + costheta , j

Passo 5

4. Expressar os unitários i e j em termos de r e theta.
Agora vamos inverter as relações anteriores para expressar i e j em termos de r e theta.
A partir das expressões de r e theta, temos:
i = costheta , r - sintheta , theta j = sintheta , r + costheta , theta

Passo 6

Mostrar que:
v = dotr r + r dottheta theta
e que
a = (ddotr - r dottheta^2) r + (2 dotr dottheta + r ddottheta) theta
Vamos calcular a velocidade e a aceleração a partir do vetor posição r = r r.
Primeiro, derivamos r em relação ao tempo para obter a velocidade:
Usando a regra do produto e sabendo que r também depende do tempo:
v = drdt = ddt(r r) = dotr r + r drdt
Sabemos que drdt = dottheta theta, então:
v = dotr r + r dottheta theta
Agora, para a aceleração, derivamos a velocidade:
a = dvdt = ddt(dotr r + r dottheta theta) = ddotr r + dotr drdt + dotr dottheta theta + r ddottheta theta + r dottheta dthetadt
Sabendo que dthetadt = -dottheta r, substituímos:
a = ddotr r + dotr dottheta theta + dotr dottheta theta + r ddottheta theta - r dottheta^2 r
Agrupando os termos:
a = (ddotr - r dottheta^2) r + (2 dotr dottheta + r ddottheta) theta

Passo 7

Obter os casos particulares para o movimento circular.
No movimento circular, o raio r é constante, ou seja, dotr = 0 e ddotr = 0. Além disso, a velocidade angular dottheta é constante, então ddottheta = 0.
Substituindo na expressão da velocidade:
v = 0 cdot r + r dottheta theta = r dottheta theta
E na expressão da aceleração:
a = (0 - r dottheta^2) r + (2 cdot 0 cdot dottheta + r cdot 0) theta = -r dottheta^2 r
Isso significa que, no movimento circular, a velocidade está sempre na direção tangencial ( theta) e a aceleração é centrípeta, dirigida para o centro ( -r) com magnitude r dottheta^2.

Resposta

Resumindo, expressamos o vetor posição r em diferentes sistemas de unitários, derivamos as expressões para velocidade e aceleração em coordenadas polares, e analisamos o caso do movimento circular, onde a aceleração é centrípeta. As expressões finais são:
  1. r = r costheta , i + r sintheta , j
  2. r = r r
  3. r = costheta , i + sintheta , j e theta = -sintheta , i + costheta , j
  4. i = costheta , r - sintheta , theta e j = sintheta , r + costheta , theta
Além disso:
  • Velocidade: v = dotr r + r dottheta theta
  • Aceleração: a = (ddotr - r dottheta^2) r + (2 dotr dottheta + r ddottheta) theta
E, no caso de movimento circular:
  • Velocidade: v = r dottheta theta
  • Aceleração: a = -r dottheta^2 r

Exercícios relacionados