O vetor posição
de um ponto qualquer
no plano
fica também completamente caracterizado pelo seu módulo
e pelo ângulo
que faz com o eixo
(
e
são chamadas coordenadas polares). Resolva o exercício completo conforme descrito abaixo:
Expresse:
- o vetor
em termos dos unitários
e
;
- o vetor
em termos dos unitários
e
;
- os unitários
e
em termos de
e
;
- os unitários
e
em termos de
e
.
Mostre também que:
e que
onde pontos sobre as letras significam, por convenção, derivadas em relação ao tempo. Obtenha os casos particulares para o movimento circular.
(Exercício 1.5 completamente resolvido no livro do Barcelos, de suma importância ao longo da disciplina).
Expresse:
Mostre também que:
(Exercício 1.5 completamente resolvido no livro do Barcelos, de suma importância ao longo da disciplina).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre vetores posição no plano, usando coordenadas polares. Basicamente, a gente vai trabalhar com os vetores
, que representa a posição de um ponto
, e precisa expressá-lo de diferentes maneiras usando unitários diferentes. Além disso, vamos explorar como calcular a velocidade
e a aceleração
desse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de coordenadas polares, vetores em diferentes sistemas de referência e como derivar expressões para velocidade e aceleração.
Passo 2
1. Expressar o vetor
em termos dos unitários
e
.
Primeiro, vamos lembrar que no sistema de coordenadas cartesianas, qualquer vetor pode ser expresso em termos dos unitários
e
, que apontam nas direções dos eixos
e
, respectivamente. Em coordenadas polares, a posição é dada por
(a distância até a origem) e
(o ângulo com o eixo
).
A relação entre as coordenadas polares e cartesianas é dada por:
Então, o vetor posição
pode ser escrito como:
Passo 3
2. Expressar o vetor
em termos dos unitários
e
.
No sistema de coordenadas polares, usamos os unitários
e
, onde
aponta na direção radial (da origem para o ponto) e
é perpendicular a
, na direção de aumento de
.
O vetor posição
, por definição, está inteiramente na direção radial. Portanto, não tem componente na direção de
. Assim, podemos escrever:
Passo 4
3. Expressar os unitários
e
em termos de
e
.
Para relacionar os unitários polares com os cartesianas, usamos as funções trigonométricas do ângulo
.
O unitário radial
aponta na direção de
:
O unitário angular
é perpendicular a
e aponta na direção de aumento de
:
Passo 5
4. Expressar os unitários
e
em termos de
e
.
Agora vamos inverter as relações anteriores para expressar
e
em termos de
e
.
A partir das expressões de
e
, temos:
Passo 6
Mostrar que:
e que
Vamos calcular a velocidade e a aceleração a partir do vetor posição
.
Primeiro, derivamos
em relação ao tempo para obter a velocidade:
Usando a regra do produto e sabendo que
também depende do tempo:
Sabemos que
, então:
Agora, para a aceleração, derivamos a velocidade:
Sabendo que
, substituímos:
Agrupando os termos:
Passo 7
Obter os casos particulares para o movimento circular.
No movimento circular, o raio
é constante, ou seja,
e
. Além disso, a velocidade angular
é constante, então
.
Substituindo na expressão da velocidade:
E na expressão da aceleração:
Isso significa que, no movimento circular, a velocidade está sempre na direção tangencial (
) e a aceleração é centrípeta, dirigida para o centro (
) com magnitude
.
Resposta
Resumindo, expressamos o vetor posição
em diferentes sistemas de unitários, derivamos as expressões para velocidade e aceleração em coordenadas polares, e analisamos o caso do movimento circular, onde a aceleração é centrípeta. As expressões finais são:
-
-
-
e -
e
Além disso:
- Velocidade:
- Aceleração:
E, no caso de movimento circular:
- Velocidade:
- Aceleração: