Considere uma partícula de massa
confinada dentro de um poço quantico unidimensional e infinito. O poço quântico se encontra definido entre
. A função de onda da partícula para o tempo
é:
(a) Explique que tipo de função de onda é essa. (b) Normalize
. © Encontre
(a) Explique que tipo de função de onda é essa. (b) Normalize
Passo 1
Beleza, temos um exercício de mecânica quântica envolvendo uma partícula presa num poço quântico unidimensional infinito. O poço vai de
até
. A função de onda no tempo inicial (
) é dada por
. Vamos precisar entender funções de onda, normalização e evolução temporal das funções de onda nesse contexto.
Passo 2
Parte (a): Explicando o tipo de função de onda
A função de onda
é uma combinação linear de funções próprias do poço quântico. No poço unidimensional infinito, as funções próprias são as senos
, onde
é um número inteiro positivo. Aqui, temos uma superposição das ondas com
e
. Isso significa que a partícula está em um estado quântico que é uma combinação desses estados estacionários.
Passo 3
Parte (b): Normalizando
Normalizar a função de onda significa encontrar o valor de
tal que a integral de
de
a
seja igual a
. Vamos calcular isso passo a passo.
Primeiro, escrevemos
:
Expandindo o quadrado:
Agora, vamos integrar de
a
:
O termo cruzado $ \sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)\sin\left(\frac{3\pi x}{a}\right) $ integra para zero porque as diferentes frequências se anulam.
Para que a integral seja
:
Passo 4
Parte ©: Encontrando
A evolução temporal da função de onda em um poço quântico unidimensional infinito é dada pela superposição dos estados estacionários multiplicados por fatores de fase que dependem da energia de cada estado.
Sabemos que cada estado
tem uma energia
.
Então, a função de onda no tempo
fica:
Substituindo
e
:
Resposta
A função de onda normalizada no tempo
é: