Considere uma partícula de massa m confinada dentro de um poço quantico unidimensional e infinito. O poço quântico se encontra definido entre 0 <= x <= a. A função de onda da partícula para o tempo t=0 é:
psi(x, 0)=A[2 sen(pi xa)+sen(3 pi xa]
(a) Explique que tipo de função de onda é essa. (b) Normalize psi(x, 0). © Encontre psi(x, t)

Passo 1

Beleza, temos um exercício de mecânica quântica envolvendo uma partícula presa num poço quântico unidimensional infinito. O poço vai de 0 até a. A função de onda no tempo inicial ( t=0) é dada por psi(x, 0)=A[2 sin(pi xa)+sin(3 pi xa)]. Vamos precisar entender funções de onda, normalização e evolução temporal das funções de onda nesse contexto.

Passo 2

Parte (a): Explicando o tipo de função de onda
A função de onda psi(x, 0) é uma combinação linear de funções próprias do poço quântico. No poço unidimensional infinito, as funções próprias são as senos sin(n pi xa), onde n é um número inteiro positivo. Aqui, temos uma superposição das ondas com n=1 e n=3. Isso significa que a partícula está em um estado quântico que é uma combinação desses estados estacionários.

Passo 3

Parte (b): Normalizando psi(x, 0)
Normalizar a função de onda significa encontrar o valor de A tal que a integral de |psi(x, 0)|^2 de 0 a a seja igual a 1. Vamos calcular isso passo a passo.
Primeiro, escrevemos |psi(x, 0)|^2:
|psi(x, 0)|^2 = A^2 [2 sin(pi xa) + sin(3pi xa)]^2
Expandindo o quadrado:
|psi(x, 0)|^2 = A^2 [4 sin^2(pi xa) + 4 sin(pi xa)sin(3pi xa) + sin^2(3pi xa)]
Agora, vamos integrar de 0 a a:
integral0^a |psi(x, 0)|^2 dx = A^2 [4 cdot a2 + 4 cdot 0 + a2] = A^2 cdot 5a2
O termo cruzado $ \sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)\sin\left(\frac{3\pi x}{a}\right) $ integra para zero porque as diferentes frequências se anulam.
Para que a integral seja sin(pi xa)sin(3pi xa) :
1

Passo 4

Parte ©: Encontrando psi(x, t)
A evolução temporal da função de onda em um poço quântico unidimensional infinito é dada pela superposição dos estados estacionários multiplicados por fatores de fase que dependem da energia de cada estado.
Sabemos que cada estado sin(n pi xa) tem uma energia En = n^2 pi^2 hbar^22ma^2.
Então, a função de onda no tempo t fica:
psi(x, t) = A [2 sin(pi xa) e^-i E1 t / hbar + sin(3pi xa) e^-i E3 t / hbar]
Substituindo A = raiz25a e En:
psi(x, t) = raiz25a [2 sin(pi xa) e^-i pi^2 hbar2ma^2 t + sin(3pi xa) e^-i 9pi^2 hbar2ma^2 t]

Resposta

A função de onda normalizada no tempo t é:
psi(x, t) = raiz25a [2 sin(pi xa) e^-i pi^2 hbar2ma^2 t + sin(3pi xa) e^-i 9pi^2 hbar2ma^2 t]

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