Uma luz monocromática proveniente de uma fonte distante possui comprimento de onda lambda=640 nm e passa por uma fenda com largura igual a 0,480 mm. A figura de difração é observada sobre uma tela situada a uma distância de 3,00 m da fenda. Em termos da intensidade I0 no pico do máximo central, qual é a intensidade da luz sobre a tela em um ponto cuja distância do centro ao máximo central é 2,00 mm?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um experimento de difração de luz passando por uma fenda. A gente tem uma luz monocromática com comprimento de onda lambda = 640 , nm passando por uma fenda com largura a = 0,480 , mm. Essa luz forma um padrão de difração numa tela a uma distância L = 3,00 , m da fenda. A pergunta quer saber qual é a intensidade da luz numa posição específica na tela, que está a y = 2,00 , mm do centro, em termos da intensidade no pico central I0.
Vamos resolver isso usando a teoria de difração de fenda única, que nos permite calcular como a intensidade da luz varia na tela em função da posição.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para a intensidade na difração de fenda única. A intensidade I em um ponto qualquer da tela é dada por:
I(y) = I0 ( sin betabeta )^2
onde:
beta = pi a ylambda L
Aqui, a é a largura da fenda, lambda é o comprimento de onda da luz, L é a distância da fenda à tela, e y é a distância do ponto em questão ao centro do padrão de difração.

Passo 3

Vamos substituir os valores que a gente tem na fórmula. Primeiro, é importante que todas as unidades estejam compatíveis. Vamos converter tudo para metros:
  • lambda = 640 , nm = 640 times 10^-9 , m
  • a = 0,480 , mm = 0,480 times 10^-3 , m
  • y = 2,00 , mm = 2,00 times 10^-3 , m
  • L = 3,00 , m
Agora, calculamos beta:
beta = pi times 0,480 times 10^-3 times 2,00 times 10^-3640 times 10^-9 times 3,00

Passo 4

Vamos simplificar os cálculos passo a passo:
Primeiro, multiplicamos os numeradores:
0,480 times 10^-3 times 2,00 times 10^-3 = 0,960 times 10^-6
Agora, os denominadores:
640 times 10^-9 times 3,00 = 1920 times 10^-9 = 1,920 times 10^-6
Então:
beta = pi times 0,960 times 10^-61,920 times 10^-6 = pi times 0,9601,920 = pi times 0,51 = pi2

Passo 5

Com beta = pi2, agora calculamos a intensidade I(y):
I(y) = I0 ( sin (pi/2)pi/2 )^2
Sabemos que sin (pi/2) = 1, então:
I(y) = I0 ( 1pi/2 )^2 = I0 ( 2pi )^2 = I0 times 4pi^2

Resposta

A intensidade da luz no ponto a 2,00 , mm do centro é igual a dfrac4pi^2 I0.

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