Um elétron é confinado no estado fundamental de um oscilador harmônico simples, de forma que
. Asumindo que
, com
e
sendo as energias cinética e potencial, encontrar usando os dados anteriores: (a) a frequência do oscilador, (b) a energia requerida para poder excitar o elétron para o primeiro estado excitado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um elétron preso no estado fundamental de um oscilador harmônico simples. A gente sabe que a incerteza na posição desse elétron é
metros. Além disso, foi dito que a energia média cinética
é igual à energia média potencial
. Nosso objetivo aqui é encontrar:
a) a frequência do oscilador, e
b) a energia necessária para excitar o elétron para o primeiro estado excitado.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica relacionados aos osciladores harmônicos, além de algumas fórmulas matemáticas básicas.
a) a frequência do oscilador, e
b) a energia necessária para excitar o elétron para o primeiro estado excitado.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica relacionados aos osciladores harmônicos, além de algumas fórmulas matemáticas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um oscilador harmônico simples. É um modelo físico onde uma partícula, como nosso elétron, oscila ao redor de uma posição de equilíbrio, com uma força restauradora proporcional ao deslocamento. Matematicamente, a energia total
desse sistema pode ser escrita como:
E foi dado que
, então a energia total é:
Passo 3
No estado fundamental, a energia do oscilador harmônico quântico é conhecida. A energia do primeiro estado excitado é a próxima quantização de energia. A diferença de energia entre esses estados está relacionada à frequência do oscilador. Precisamos usar a relação entre a incerteza na posição
e a massa e frequência do oscilador.
Passo 4
A incerteza na posição
está ligada à amplitude vibracional do oscilador. No estado fundamental, temos:
Onde:
-
é a constante de Planck reduzida, -
é a massa do elétron, -
é a frequência angular do oscilador.
Vamos rearranjar essa equação para resolver.
Passo 5
Rearranjando a fórmula para
:
Agora, precisamos dos valores:
- A massa do elétron
kg, -
J·s, -
m (já dado no enunciado).
Passo 6
Substituindo os valores na equação:
Calculando isso, obtemos a frequência angular
. Para encontrar a frequência
, usamos a relação:
Passo 7
Agora que temos a frequência
, passamos para a parte (b). A energia para excitar o elétron do estado fundamental para o primeiro estado excitado é igual a
. Então:
Substituímos
pela expressão que encontramos e calculamos
.
Resposta
a) A frequência do oscilador é:
b) A energia requerida para excitar o elétron para o primeiro estado excitado é: