Um elétron é confinado no estado fundamental de um oscilador harmônico simples, de forma que De. Asumindo que lang<= Trang<==lang<= Vrang<=, com T e V sendo as energias cinética e potencial, encontrar usando os dados anteriores: (a) a frequência do oscilador, (b) a energia requerida para poder excitar o elétron para o primeiro estado excitado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um elétron preso no estado fundamental de um oscilador harmônico simples. A gente sabe que a incerteza na posição desse elétron é De metros. Além disso, foi dito que a energia média cinética lang<= T rang<= é igual à energia média potencial lang<= V rang<=. Nosso objetivo aqui é encontrar:
a) a frequência do oscilador, e
b) a energia necessária para excitar o elétron para o primeiro estado excitado.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica relacionados aos osciladores harmônicos, além de algumas fórmulas matemáticas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um oscilador harmônico simples. É um modelo físico onde uma partícula, como nosso elétron, oscila ao redor de uma posição de equilíbrio, com uma força restauradora proporcional ao deslocamento. Matematicamente, a energia total E desse sistema pode ser escrita como:
E = lang<= T rang<= + lang<= V rang<=
E foi dado que lang<= T rang<= = lang<= V rang<=, então a energia total é:
E = 2lang<= T rang<=

Passo 3

No estado fundamental, a energia do oscilador harmônico quântico é conhecida. A energia do primeiro estado excitado é a próxima quantização de energia. A diferença de energia entre esses estados está relacionada à frequência do oscilador. Precisamos usar a relação entre a incerteza na posição De e a massa e frequência do oscilador.

Passo 4

A incerteza na posição De está ligada à amplitude vibracional do oscilador. No estado fundamental, temos:
De
Onde:
  • hbar é a constante de Planck reduzida,
  • m é a massa do elétron,
  • omega é a frequência angular do oscilador.
    Vamos rearranjar essa equação para resolver omega.

Passo 5

Rearranjando a fórmula para omega:
omega = hbar2m(De
Agora, precisamos dos valores:
  • A massa do elétron m = 9,109 times 10^-31 kg,
  • hbar = 1,054 times 10^-34 J·s,
  • De m (já dado no enunciado).

Passo 6

Substituindo os valores na equação:
omega = 1,054 times 10^-342 times 9,109 times 10^-31 times (xo)^2
Calculando isso, obtemos a frequência angular omega. Para encontrar a frequência f, usamos a relação:
f = omega2pi

Passo 7

Agora que temos a frequência f, passamos para a parte (b). A energia para excitar o elétron do estado fundamental para o primeiro estado excitado é igual a hbar omega. Então:
De
Substituímos omega pela expressão que encontramos e calculamos De.

Resposta

a) A frequência do oscilador é:
f = 1,054 times 10^-342 times 9,109 times 10^-31 times (xo)^2 times 2pi
b) A energia requerida para excitar o elétron para o primeiro estado excitado é:
De

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