Uma particula quântica esta confinada num poço de potencial infinito e unidimensional, entre
. Para
a função de onda do sistema é:
, onde
e
são constates de normalização. (a) Explique que tipo de função de onda é essa. (b) Encontre a função de onda para o tempo
. © Encontre o valor médio da energia do sistema para o tempo
.
Passo 1
Beleza, vamos nessa! Temos uma partícula quântica presa num poço de potencial infinito unidimensional entre
. A função de onda no tempo
é uma combinação de duas funções senoidais com constantes
e
. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender sobre funções de onda estacionárias, como elas evoluem no tempo e como calcular a energia média do sistema.
Passo 2
(a) Tipo de função de onda
A função de onda dada é uma superposição de estados estacionários. Cada termo
representa um estado estacionário do sistema com um número quântico
. Ou seja,
é uma combinação linear de dois estados estacionários diferentes, correspondentes aos números quânticos
e
.
Passo 3
(b) Função de onda para o tempo
Para encontrar a função de onda no tempo
, usamos a evolução temporal das funções de onda estacionárias. Cada estado estacionário evolui no tempo multiplicando-se por um fator de fase complexo:
Onde
é a energia do estado
, dada por:
Aplicando isso à nossa função de onda inicial:
Passo 4
© Valor médio da energia no tempo
Para calcular o valor médio da energia, usamos a expectação da energia:
Como as funções de onda estacionárias são ortogonais e já são autovalores da energia, a expectativa resulta numa combinação das energias dos estados individuais ponderadas pelos quadrados dos coeficientes de normalização. Assim:
Onde:
Resposta
A função de onda no tempo
é:
E o valor médio da energia do sistema para o tempo
é: