Uma particula quântica esta confinada num poço de potencial infinito e unidimensional, entre 0 <= x. Para t=0 a função de onda do sistema é: psi(x, 0)=C1 sen(pi xa)+C2 sen(2 pi xa), onde C1 e C2 são constates de normalização. (a) Explique que tipo de função de onda é essa. (b) Encontre a função de onda para o tempo t. © Encontre o valor médio da energia do sistema para o tempo t.

Passo 1

Beleza, vamos nessa! Temos uma partícula quântica presa num poço de potencial infinito unidimensional entre 0 <= x < a. A função de onda no tempo t=0 é uma combinação de duas funções senoidais com constantes C1 e C2. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender sobre funções de onda estacionárias, como elas evoluem no tempo e como calcular a energia média do sistema.

Passo 2

(a) Tipo de função de onda
A função de onda dada é uma superposição de estados estacionários. Cada termo sin(n pi xa) representa um estado estacionário do sistema com um número quântico n. Ou seja, psi(x, 0) = C1 sin(pi xa) + C2 sin(2 pi xa) é uma combinação linear de dois estados estacionários diferentes, correspondentes aos números quânticos n=1 e n=2.

Passo 3

(b) Função de onda para o tempo t
Para encontrar a função de onda no tempo t, usamos a evolução temporal das funções de onda estacionárias. Cada estado estacionário evolui no tempo multiplicando-se por um fator de fase complexo:
phin(x, t) = phin(x) , e^-i En t / hbar
Onde En é a energia do estado n, dada por:
En = n^2 pi^2 hbar^22 m a^2
Aplicando isso à nossa função de onda inicial:
psi(x, t) = C1 sin(pi xa) e^-i E1 t / hbar + C2 sin(2 pi xa) e^-i E2 t / hbar

Passo 4

© Valor médio da energia no tempo t
Para calcular o valor médio da energia, usamos a expectação da energia:
lang<= E rang<= = integral0^a psi^*(x, t) H psi(x, t) , dx
Como as funções de onda estacionárias são ortogonais e já são autovalores da energia, a expectativa resulta numa combinação das energias dos estados individuais ponderadas pelos quadrados dos coeficientes de normalização. Assim:
lang<= E rang<= = |C1|^2 E1 + |C2|^2 E2
Onde:
E1 = pi^2 hbar^22 m a^2 e E2 = 4 pi^2 hbar^22 m a^2

Resposta

A função de onda no tempo t é:
psi(x, t) = C1 sin(pi xa) e^-i pi^2 hbar^22 m a^2 t + C2 sin(2 pi xa) e^-i 4 pi^2 hbar^22 m a^2 t
E o valor médio da energia do sistema para o tempo t é:
lang<= E rang<= = |C1|^2 pi^2 hbar^22 m a^2 + |C2|^2 4 pi^2 hbar^22 m a^2

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