Um elétron no estado
do Hidrogênio permanece ali aproximadamente ao redor de
, antes de transitar para o estado
. (a) Estime a incerteza na energia para o estado
. (b) Que fração da energia de transição é esta? © Qual é o comprimento de onda e a largura de linha, para esta transição, no espectro do átomo de Hidrogênio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o átomo de Hidrogênio, especificamente um elétron no estado $ n=2 $. Esse elétron fica nesse estado por cerca de $ 10^{-8} $ segundos antes de cair para o estado $ n=1 $. O que a gente precisa fazer é:
a) Estimar a incerteza na energia desse estado.
b) Descobrir qual fração dessa incerteza corresponde à energia de transição.
c) Calcular o comprimento de onda e a largura da linha para essa transição no espectro do Hidrogênio.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especialmente o princípio da incerteza de Heisenberg e as relações entre energia, tempo e comprimento de onda.
Passo 2
Vamos começar com a parte a): Estimar a incerteza na energia para o estado $ n=2 $.
Aqui, a gente vai usar o Princípio da Incerteza de Heisenberg, que diz que:
Onde:
- $ \Delta E $ é a incerteza na energia.
- $ \Delta t $ é o tempo de vida do estado, que aqui é $ 10^{-8} $ segundos.
- $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, que vale aproximadamente $ 1,054 \times 10^{-34} , J \cdot s $.
Vamos rearranjar a fórmula para encontrar $ \Delta E $:
Substituindo os valores:
Então, a incerteza na energia $ \Delta E $ é aproximadamente $ 5,27 \times 10^{-27} $ joules.
Passo 3
Agora, a parte b): Descobrir que fração dessa incerteza corresponde à energia de transição.
Primeiro, vamos achar a energia de transição entre os estados $ n=2 $ e $ n=1 $ no Hidrogênio. A energia dos níveis é dada por:
Para $ n=2 $:
Para $ n=1 $:
A energia de transição $ \Delta E_{trans} $ é a diferença entre esses estados:
Agora, vamos converter a incerteza em energia que calculamos na parte a) para eV:
Agora, a fração é:
Ou seja, a incerteza na energia é uma fração muito pequena da energia de transição, cerca de $ 3,22 \times 10^{-9} $.
Passo 4
Finalmente, a parte c): Calcular o comprimento de onda e a largura da linha para essa transição no espectro do Hidrogênio.
Primeiro, vamos encontrar o comprimento de onda $ \lambda $ usando a relação entre energia e comprimento de onda:
Onde:
- $ h $ é a constante de Planck ($ 6,626 \times 10^{-34} , J \cdot s $).
- $ c $ é a velocidade da luz ($ 3,00 \times 10^{8} , m/s $).
Rearranjando para $ \lambda $:
Primeiro, convertendo $ \Delta E_{trans} $ para joules:
Agora, substituindo:
Então, o comprimento de onda é aproximadamente 121,6 nanômetros.
Para a largura da linha $ \Delta \lambda $, podemos usar a relação derivada da incerteza:
Resolvendo para $ \Delta \lambda $:
Substituindo os valores:
Então, a largura da linha é aproximadamente $ 3,09 \times 10^{-5} $ nanômetros.
Resposta
a) A incerteza na energia $ \Delta E $ para o estado $ n=2 $ é aproximadamente $ 5,27 \times 10^{-27} , J $.
b) Essa incerteza corresponde a cerca de $ 3,22 \times 10^{-9} $ da energia de transição.
c) O comprimento de onda da transição é aproximadamente 121,6 nm e a largura da linha é cerca de $ 3,09 \times 10^{-5} $ nm.