Considere uma partícula de massa cujo vetor posição é dado por e o vetor velocidade é . Pede-se:
Determine o vetor momento angular dessa partícula.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma partícula com uma certa massa e sabe como ela está posicionada no espaço e como está se movendo. O vetor posição está dado por , e o vetor velocidade é . A pergunta é para determinar o vetor momento angular dessa partícula.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento angular e como calculamos ele para uma partícula em movimento. Vamos usar a fórmula do momento angular que envolve o produto vetorial entre a posição e a quantidade de movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de momento angular . Ele é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição e o vetor quantidade de movimento linear .
Matematicamente, isso é expresso como:
Onde a quantidade de movimento é o produto da massa pela velocidade :
Passo 3
Agora, vamos substituir a expressão da quantidade de movimento na equação do momento angular:
Podemos fatorar a massa fora do produto vetorial, já que ela é uma constante:
Passo 4
Com as expressões de e dadas, vamos calcular o produto vetorial .
Temos:
Então, o produto vetorial fica:
Calculando o determinante, temos:
r times v = i(y vz - z vy) - j(x vz - z vx) + k(x vy - y vx)
Passo 5
Agora, vamos multiplicar essa expressão pelo m que fatoramos anteriormente:
L = m [ i(y vz - z vy) - j(x vz - z vx) + k(x vy - y vx) ]
Resposta
O vetor momento angular L da partícula é dado por:
L = m [ (y vz - z vy) i - (x vz - z vx) j + (x vy - y vx) k ]