Considere um sistema cujos vetores campo elétrico e magnético são dados por ) axyt, 0,0 ) e a=1 / epsilon0 by, 0,0 b=8 mu0, respectivamente onde x, y, z e t são constantes e ( J ) denotam coordenadas cartesianas e, x=2 e denota a variável temporal. Usando as equações de Maxwell, determine o módulo da densidade de corrente y=8 do sistema para . [Todas as quantidades do problema estão no S.I., portanto dê sua resposta no S.I. de unidades com número arredondado na primeira casa decimal].

Passo 1

O enunciado nos dá os campos elétrico e magnético
E=(E_x,E_y,E_z)=(a·x·y·t,0,0) e B=(B_x,B_y,B_z)=(b·y,0,0) com a=1/ε₀ e b=8μ₀, e pede o módulo de J em x=2 e y=8 usando as equações de Maxwell.

Passo 2

Para encontrar J, usamos a forma geral da lei de Ampère–Maxwell:

e isolamos nabla times vec B = mu0,vec J + mu0,epsilon0,partial vec Epartial tn:

Passo 3

Calculamos primeiro o rotacional de B. Como vec B=(b y,0,0), temos:
(nabla times vec B)x=0, (nabla times vec B)y=0, (nabla times vec B)z=partial Bypartial x-partial Bxpartial y=0-partial (b y)partial y=-b
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Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada temporal de E. Como Ex=a x y t, fica:
partial vec Epartial t=(a x y,0,0)
e portanto
epsilon0,partial vec Epartial t=(epsilon0 a x y,0,0)=(x y,0,0)pois a=1/epsilon0.

Passo 5

Substituindo em
vec J=1mu0(0,0,-b)-(x y,0,0)=(-x y,0,-bmu0)

Passo 6

Agora avaliamos em x=2 e y=8 com b=8μ₀:
$$x y=2\cdot8=16,
\quad\frac{b}{\mu_0}=\frac{8\mu_0}{\mu_0}=8 x y=2cdot8=16, bmu0=8mu0mu0=8\vec J=(-16,0,-8)$$

Passo 7

O módulo de vec J é
|vec J|=raiz(-16)^2+(-8)^2=raiz256+64=raiz320=8raiz5approx17,9\primeira casa decimal

Resposta

17,9 A/m²

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