Mostre que a função Psi(x, t)=A e^i(k x-omega t) satisfaz tanto a equação de Schrödinger dependente do tempo quanto a equação de onda clássica,
partial^2 ypartial x^2=1v^2 partial^2 ypartial t^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função Psi(x, t) = A e^i(k x - omega t) satisfaz tanto a equação de Schrödinger dependente do tempo quanto a equação de onda clássica:
partial^2 ypartial x^2 = 1v^2 partial^2 ypartial t^2
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial para derivar a função Psi(x, t) em relação a x e t, e verificar se as equações são satisfeitas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação de Schrödinger dependente do tempo. A forma geral dessa equação é:
ihbar partial Psipartial t = -hbar^22m partial^2 Psipartial x^2 + V Psi
Assumindo que o potencial V = 0 (partícula livre), a equação simplifica para:
ihbar partial Psipartial t = -hbar^22m partial^2 Psipartial x^2
Vamos calcular as derivadas necessárias da nossa função Psi(x, t).

Passo 3

Primeiro, calculamos a primeira derivada de Psi em relação ao tempo t:
partial Psipartial t = A cdot partialpartial t ( e^i(kx - omega t) ) = A cdot e^i(kx - omega t) cdot (-iomega) = -iomega Psi
Agora, multiplicamos por ihbar:
ihbar partial Psipartial t = ihbar (-iomega Psi) = hbar omega Psi

Passo 4

Em seguida, calculamos a segunda derivada de Psi em relação a x:
partial Psipartial x = A cdot partialpartial x ( e^i(kx - omega t) ) = A cdot e^i(kx - omega t) cdot (ik) = ik Psi
E novamente derivamos para obter a segunda derivada:
partial^2 Psipartial x^2 = ik cdot partial Psipartial x = ik cdot ik Psi = -k^2 Psi
Agora, multiplicamos por -hbar^22m:
-hbar^22m partial^2 Psipartial x^2 = -hbar^22m (-k^2 Psi) = hbar^2 k^22m Psi

Passo 5

Agora, igualamos as duas expressões obtidas na equação de Schrödinger:
hbar omega Psi = hbar^2 k^22m Psi
Podemos cancelar Psi dos dois lados e resolver para omega:
hbar omega = hbar^2 k^22m Rightarrow omega = hbar k^22m
Isso mostra que a função Psi(x, t) satisfaz a equação de Schrödinger, desde que omega e k estejam relacionados dessa forma.

Passo 6

Agora, vamos verificar se Psi(x, t) satisfaz a equação de onda clássica:
partial^2 ypartial x^2 = 1v^2 partial^2 ypartial t^2
Primeiro, calculamos a segunda derivada em relação a x:
partial Psipartial x = ik Psi partial^2 Psipartial x^2 = -k^2 Psi
Agora, a segunda derivada em relação ao t:
partial Psipartial t = -iomega Psi partial^2 Psipartial t^2 = -iomega cdot (-iomega) Psi = -omega^2 Psi
Substituindo na equação de onda:
-k^2 Psi = 1v^2 (-omega^2 Psi) Rightarrow k^2 = omega^2v^2 Rightarrow omega = v k

Passo 7

Para que a equação de onda seja satisfeita, precisamos que:
omega = v k
Lembrando da relação que obtivemos anteriormente na equação de Schrödinger:
omega = hbar k^22m
Combinando as duas, temos:
v k = hbar k^22m Rightarrow v = hbar k2m
Isso mostra que, se a velocidade v estiver relacionada a k dessa forma, a função Psi(x, t) também satisfaz a equação de onda clássica.

Resposta

Portanto, a função Psi(x, t) = A e^i(k x - omega t) satisfaz tanto a equação de Schrödinger dependente do tempo quanto a equação de onda clássica, desde que as relações omega = hbar k^22m e v = hbar k2m sejam mantidas.

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