Mostre que a função
satisfaz tanto a equação de Schrödinger dependente do tempo quanto a equação de onda clássica,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função
satisfaz tanto a equação de Schrödinger dependente do tempo quanto a equação de onda clássica:
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial para derivar a função
em relação a
e
, e verificar se as equações são satisfeitas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação de Schrödinger dependente do tempo. A forma geral dessa equação é:
Assumindo que o potencial
(partícula livre), a equação simplifica para:
Vamos calcular as derivadas necessárias da nossa função
.
Passo 3
Primeiro, calculamos a primeira derivada de
em relação ao tempo
:
Agora, multiplicamos por
:
Passo 4
Em seguida, calculamos a segunda derivada de
em relação a
:
E novamente derivamos para obter a segunda derivada:
Agora, multiplicamos por
:
Passo 5
Agora, igualamos as duas expressões obtidas na equação de Schrödinger:
Podemos cancelar
dos dois lados e resolver para
:
Isso mostra que a função
satisfaz a equação de Schrödinger, desde que
e
estejam relacionados dessa forma.
Passo 6
Agora, vamos verificar se
satisfaz a equação de onda clássica:
Primeiro, calculamos a segunda derivada em relação a
:
Agora, a segunda derivada em relação ao
:
Substituindo na equação de onda:
Passo 7
Para que a equação de onda seja satisfeita, precisamos que:
Lembrando da relação que obtivemos anteriormente na equação de Schrödinger:
Combinando as duas, temos:
Isso mostra que, se a velocidade
estiver relacionada a
dessa forma, a função
também satisfaz a equação de onda clássica.
Resposta
Portanto, a função
satisfaz tanto a equação de Schrödinger dependente do tempo quanto a equação de onda clássica, desde que as relações
e
sejam mantidas.