Considere uma partícula de massa
sujeita a uma força elástica
, e uma força dissipativa
tal que
onde
.
Sabendo que, após um período de oscilação, a amplitude de oscilação é reduzida por um fator
onde
é o número de Euler (base do logaritmo natural), e que
, obtenha a razão
, e a frequência angular
. Observação: O resultado pode ser expresso em termos do número
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o problema. Temos uma partícula com massa
sujeita a duas forças: uma força elástica proporcional a
e uma força dissipativa proporcional a
. Sabemos que a amplitude das oscilações diminui por um fator
após um período de oscilação. Além disso, a frequência natural
é dada como
. Precisamos encontrar a razão
e a frequência angular
. Para isso, vamos usar conceitos de osciladores amortecidos.
Passo 2
Primeiro, lembramos que para um oscilador harmônico amortecido, a equação diferencial é:
Dividindo todos os termos por
, temos:
Aqui,
é a frequência natural sem amortecimento.
Passo 3
Sabemos que a solução para essa equação envolve uma exponencial que descreve o decaimento da amplitude e uma função trigonométrica que descreve a oscilação. A amplitude após um tempo
é dada por:
Segundo o problema, após um período
, a amplitude é reduzida por um fator
:
Passo 4
Podemos igualar os expoentes para encontrar
:
Sabemos que
e
, então
:
Passo 5
Agora, resolvemos para
:
Então, a razão
é
.
Passo 6
Para encontrar a frequência angular
do sistema amortecido, usamos a fórmula:
Substituindo
e
:
Resposta
A razão
é
e a frequência angular
é
.