Considere uma partícula de massa m sujeita a uma força elástica -k x, e uma força dissipativa -b dotx tal que b2 m onde omega0=raizk / m. (1,5) Sabendo que, após um período de oscilação, a amplitude de oscilação é reduzida por um fator e^-2 onde e é o número de Euler (base do logaritmo natural), e que omega0=1 rad / s, obtenha a razão b2 m, e a frequência angular omega. Observação: O resultado pode ser expresso em termos do número pi.

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Temos uma partícula com massa sujeita a duas forças: uma força elástica proporcional a e uma força dissipativa proporcional a . Sabemos que a amplitude das oscilações diminui por um fator após um período de oscilação. Além disso, a frequência natural é dada como . Precisamos encontrar a razão e a frequência angular . Para isso, vamos usar conceitos de osciladores amortecidos.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para um oscilador harmônico amortecido, a equação diferencial é:
m ddotx + b dotx + k x = 0
Dividindo todos os termos por ddotx + bm dotx + km x = 0 , temos:
Aqui, é a frequência natural sem amortecimento.

Passo 3

Sabemos que a solução para essa equação envolve uma exponencial que descreve o decaimento da amplitude e uma função trigonométrica que descreve a oscilação. A amplitude após um tempo A(t) = A0 e^-b2m t é dada por:
A(T) = A0 e^-b2m T = A0 e^-2
Segundo o problema, após um período , a amplitude é reduzida por um fator :

Passo 4

Podemos igualar os expoentes para encontrar -b2m T = -2 :
b2m T = 2
b2m cdot 2pi = 2
Sabemos que e , então :

Passo 5

Agora, resolvemos para b2m = 22pi = 1pi :
Então, a razão é .

Passo 6

Para encontrar a frequência angular omega = raizomega0^2 - (b2m)^2 do sistema amortecido, usamos a fórmula:
omega = raiz1 - (1pi)^2 = raiz1 - 1pi^2 = raizpi^2 - 1pi^2 = raizpi^2 - 1pi
Substituindo e :

Resposta

A razão é e a frequência angular é .

Exercícios relacionados