. Uma partícula desliza sobre um plano perfeitamente liso o qual está localizado numa latitude \lambda (Norte) sobre a Terra, e sua orientação é tal que ele é perpendicular ao fio de prumo (vertical local) naquela latitude. Determine a trajetória da partícula vista por um observador no plano. A velocidade angular da Terra é \omega. Escolha o eixo z paralelo ao fio de prumo, para cima, x para o Sul e y para o Leste. Tome as condições iniciais: \operatorname{Em} t=0, x=0, y=y_{0}, \dot{x}=\dot{x}_{0} e \dot{y}=0. [Res: trajetória circular de raio r=\dot{x}_{0} /(2 \omega \sin \lambda), com centro em \left(0, y_{0}-\dot{x}_{0} /(2 \omega \sin \lambda)\right) ]
Passo 1
O enunciado pede a trajetória, vista por um observador fixo no plano (ou seja, no referencial que gira com a Terra), de uma partícula que desliza sem atrito sobre um plano localizado numa latitude \lambda e orientado perpendicular ao fio de prumo local. Dados e condições iniciais fornecidos:
Eixos: z para cima, paralelo ao fio de prumo; x para o Sul; y para o Leste.
Velocidade angular da Terra: \omega.
A partícula está restrita ao plano perpendicular ao fio de prumo, portanto sua coordenada vertical é fixa (nenhum movimento efetivo em z no plano).
Condições iniciais em t=0:x(0)=0,\qquad y(0)=y_{0},
\dot{x}(0)=\dot{x}_{0},\qquad \dot{y}(0)=0.
O plano é perfeitamente liso (sem atrito). A tarefa é obter a equação da trajetória projetada no plano xy e identificar sua forma (e.g. círculo) com centro e raio.
Passo 2
Escolha do referencial e forças efetivas. Vou trabalhar no referencial que gira com a Terra (referencial não-inercial). Nesse referencial a equação de movimento para a partícula de massa m é, escrevendo apenas as forças relevantes na direção do plano:
onde \boldsymbol{\Omega} é o vetor de rotação da Terra e -2m\,\boldsymbol{\Omega}\times\dot{\mathbf r} é a força de Coriolis e -m\,\boldsymbol{\Omega}\times(\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf r) é a força centrífuga aparente.
Explicação física importante e simplificação: o plano é perpendicular ao fio de prumo. O fio de prumo local aponta na direção do “peso efetivo”, que já inclui o efeito centrífugo estático. Logo a soma do peso real (gravidade) com a força centrífuga estática é perpendicular ao plano e é equilibrada pela força normal do plano. Isso significa que não há componente tangencial (no plano) resultante dessas forças (gravidade + centrífuga) — o único termo que produz aceleração tangencial na superfície é a força de Coriolis. Portanto, para a dinâmica no plano xy podemos escrever, componente a componente,
ou seja, a aceleração horizontal é dada apenas pelo termo de Coriolis (o termo centrífugo está já absorvido na orientação do plano).
Passo 3
Expressão do vetor \boldsymbol{\Omega} nos eixos locais. A geometria de latitude dá componentes de \boldsymbol{\Omega} no sistema (x,y,z) escolhido: a componente vertical (paralela ao fio de prumo) é \omega\sin\lambda e a componente horizontal está dirigida para o Norte (oposta ao eixo x), de magnitude \omega\cos\lambda. Assim:
O termo de Coriolis é -2m\boldsymbol{\Omega}\times\dot{\mathbf r}, então as componentes horizontais da aceleração são
\ddot{x}=2\omega\sin\lambda\,\dot{y},
\ddot{y}=-2\omega\sin\lambda\,\dot{x}.
Aqui usei que o sinal e fatores m se cancelam ao passar para equações de aceleração. Observe que a componente vertical do produto vetorial gera um termo em z mas esse é compensado pela reação normal do plano (já comentado no Passo 2).]
Passo 5
Organização do sistema e definição de uma constante para simplificar. Defino
\alpha := 2\omega\sin\lambda,
de modo que o sistema é
\ddot{x}=\alpha\dot{y},
\ddot{y}=-\alpha\dot{x}.
Esse é um sistema linear acoplado de ordem dois. Uma forma elegante e compacta de resolvê-lo é usar a variável complexa
z(t):=x(t)+\mathrm{i}\,y(t).
Então \dot{z}=\dot{x}+\mathrm{i}\dot{y} e \ddot{z}=\ddot{x}+\mathrm{i}\ddot{y}. Somando as equações multiplicando a segunda por \mathrm{i} obtemos
Vamos separar parte real e imaginária. Note que \dfrac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}. Usando a identidade e^{-\mathrm{i}\alpha t}=\cos(\alpha t)-\mathrm{i}\sin(\alpha t) obtemos
Uma verificação rápida: para t=0 temos x(0)=0 e y(0)=y_{0} como imposto; a velocidade inicial é (\dot{x}_{0},0). O movimento é circular com velocidade angular \alpha no sentido indicado pelas soluções (rotacionando com frequência angular \alpha).
Resposta
trajetória circular de raio \displaystyle r=\frac{\dot{x}_{0}}{2\omega\sin\lambda}, com centro em \displaystyle \left(0,\;y_{0}-\frac{\dot{x}_{0}}{2\omega\sin\lambda}\right)