. Considere uma partícula de massa m que se move num campo de força central dado por
\vec{F}=-k r \hat{r}, \quad k>0
a) Assumindo que a partícula se move com velocidade constante numa órbita circular de raio R, calcule a velocidade angular da partícula e mostre que sua energia é E=k R^{2}.
b) Para o caso de movimento mais geral (não necessariamente circular), escreva a expressão da energia para a partícula e via o método da energia determine diretamente a equação para r(t).
c) Calcule os valores máximo e mínimo de r(t) e mostre que E=k\left(r_{\text {max }}^{2}+r_{\text {min }}^{2}\right) / 2.
(respostas: b) E=1 / 2 m \dot{r}^{2}+l^{2} /\left(2 m r^{2}\right)+k r^{2} / 2, r(t)=\sqrt{E / k} \sqrt{1+A \sin \left(2 \omega t+\theta_{0}\right)}, onde A=\sqrt{1-l^{2} k /\left(E^{2} m\right)}, \theta_{0}=-\arcsin \left[1 / A-k r_{0} /(E A)\right] e \omega=\sqrt{k / m}; с) r_{\text {min }}=\sqrt{E / k} \sqrt{1-A} e \left.r_{\text {max }}=\sqrt{E / k} \sqrt{1+A}\right)

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de massa m sujeita a uma força central
\vec{F}=-k r \,\hat{r},\qquad k>0,
e faz três perguntas:
  1. (a) Para uma órbita circular de raio R com velocidade constante, calcular a velocidade angular da partícula e mostrar que a energia total é E=kR^{2}.
  2. (b) Para movimento geral (não necessariamente circular), escrever a expressão da energia e, usando o método da energia, obter diretamente a equação para r(t).
  3. (c) Calcular os valores máximo e mínimo de r(t) e mostrar que E=k\big(r_{\max}^{2}+r_{\min}^{2}\big)/2.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Força central radial restauradora linear em r: \vec F=-k r\hat r.
  • Massa da partícula: m.
  • No item (a) a órbita é circular de raio R com velocidade constante.
  • Não há outras forças nem torques externos, logo o momento angular será conservado em geral (item (b)).
A partir daqui passo a passo vamos resolver (a), (b) e (c) com explicações didáticas.

Passo 2

Breve aula: potencial associado à força e energia.
  • Para uma força central conservativa radial \vec F(r)=-\dfrac{dU}{dr}\,\hat r. Aqui \vec F=-k r\hat r, então integramos para achar o potencial U(r). -\frac{dU}{dr}=-k r \quad\Rightarrow\quad \frac{dU}{dr}=k r.Integrando em r, U(r)=\frac{1}{2}k r^{2}+C.Podemos escolher a constante C=0 por conveniência (referência de energia), então U(r)=\frac{1}{2}k r^{2}.
  • Energia total clássica é E=T+U, onde T é energia cinética. Em coordenadas polares (úteis para forças centrais) a velocidade vale |\vec v|^{2}=\dot r^{2}+r^{2}\dot\theta^{2}, então T=\frac{1}{2}m\big(\dot r^{2}+r^{2}\dot\theta^{2}\big).

Passo 3

Resolvendo (a): órbita circular de raio R com velocidade constante.
  • Numa órbita circular r=R constante, temos \dot r=0 e \dot\theta=\omega constante, e a velocidade tangencial é v=R\omega.
  • A força radial fornece a aceleração centrípeta. A magnitude da aceleração centrípeta é a_{\text{cent}}=R\omega^{2}. A equação radial (modulos) é m R \omega^{2} = |\vec F| = k R.Dividindo por mR (assumindo R>0): \omega^{2}=\frac{k}{m}\quad\Rightarrow\quad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.Esta é a velocidade angular para qualquer raio R — observe que é independente de R neste tipo de força linear em r.
  • Agora a energia total para a órbita circular: T=\frac{1}{2}m v^{2}=\frac{1}{2}m(R\omega)^{2}=\frac{1}{2}mR^{2}\frac{k}{m}=\frac{1}{2}kR^{2},e o potencial é U(R)=\frac{1}{2}kR^{2}.Logo a energia total E=T+U=\frac{1}{2}kR^{2}+\frac{1}{2}kR^{2}=kR^{2}.Portanto, para órbita circular: \omega=\sqrt{k/m} e E=kR^{2}.

Passo 4

Resolvendo (b) — expressão geral da energia e conservação do momento angular.
  • Em movimento geral (polar), como já dito, T=\frac{1}{2}m\big(\dot r^{2}+r^{2}\dot\theta^{2}\big),\qquad U(r)=\frac{1}{2}k r^{2}.A energia total é E=\frac{1}{2}m\dot r^{2}+\frac{1}{2}m r^{2}\dot\theta^{2}+\frac{1}{2}k r^{2}.
  • Momento angular (módulo) é l = m r^{2}\dot\theta,que é conservado porque a força é central (não há torque em torno do centro). Então podemos escrever \dot\theta=\dfrac{l}{m r^{2}}.
  • Substituindo \dot\theta na energia: E=\frac{1}{2}m\dot r^{2}+\frac{1}{2}m r^{2}\left(\frac{l}{m r^{2}}\right)^{2}+\frac{1}{2}k r^{2}.Simplificando o segundo termo: \frac{1}{2}m r^{2}\frac{l^{2}}{m^{2} r^{4}}=\frac{l^{2}}{2 m r^{2}}.Portanto a expressão da energia (que vale para qualquer movimento no potencial dado) é E=\frac{1}{2}m\dot r^{2}+\frac{l^{2}}{2 m r^{2}}+\frac{1}{2}k r^{2}.Esta é a primeira parte pedida em (b).

Passo 5

Ainda em (b) — usar a energia para obter a equação para r(t) (método da energia).
  • Reescrevemos a energia isolando \dot r^{2}: \frac{1}{2}m\dot r^{2}=E-\frac{l^{2}}{2 m r^{2}}-\frac{1}{2}k r^{2}.Multiplicando por 2/m, \dot r^{2}=\frac{2E}{m}-\frac{l^{2}}{m^{2} r^{2}}-\frac{k}{m}r^{2}.
  • Para resolver explicitamente a dependência temporal é conveniente usar a mudança de variável u(t)=r^{2}(t).Então \dot u=2r\dot r e portanto r^{2}\dot r^{2}=\frac{\dot u^{2}}{4}.
  • Multiplicando a equação \dot r^{2}+\dfrac{l^{2}}{m^{2}r^{2}}+\dfrac{k}{m}r^{2}=\dfrac{2E}{m} por r^{2} obtemos r^{2}\dot r^{2}+\frac{l^{2}}{m^{2}}+\frac{k}{m}r^{4}=\frac{2E}{m}r^{2}.Substituindo r^{2}=u e r^{2}\dot r^{2}=\dot u^{2}/4, \frac{\dot u^{2}}{4}+\frac{k}{m}u^{2}-\frac{2E}{m}u+\frac{l^{2}}{m^{2}}=0.

Passo 6

Continuando (b) — transformar em uma EDO tipo harmônico e resolver.
  • Multiplicando por 4, \dot u^{2}+4\frac{k}{m}u^{2}-\frac{8E}{m}u+\frac{4 l^{2}}{m^{2}}=0.Defina \omega^{2}=\dfrac{k}{m} (já apareceu em (a)). Então: \dot u^{2}+4\omega^{2}u^{2}-\frac{8E}{m}u+\frac{4 l^{2}}{m^{2}}=0.
  • Agora completamos o quadrado nos termos em u. Note que 4\omega^{2}u^{2}-\frac{8E}{m}u=4\omega^{2}\Big(u^{2}-2\frac{E}{k}u\Big) =4\omega^{2}\Big[(u-\tfrac{E}{k})^{2}-\big(\tfrac{E}{k}\big)^{2}\Big],porque \dfrac{E}{k}=\dfrac{E}{m\omega^{2}}.
  • Substituindo, \dot u^{2}+4\omega^{2}(u-\tfrac{E}{k})^{2}-4\omega^{2}\big(\tfrac{E}{k}\big)^{2}+\frac{4 l^{2}}{m^{2}}=0.Isolando os dois primeiros termos do lado esquerdo e o resto no outro lado: \dot u^{2}+4\omega^{2}(u-\tfrac{E}{k})^{2}=4\omega^{2}\big(\tfrac{E}{k}\big)^{2}-\frac{4 l^{2}}{m^{2}}.

Passo 7

Ainda (b) — reconhecer a EDO harmônica para u(t).
  • O lado direito é constante; chamemos essa constante de C: C=4\omega^{2}\big(\tfrac{E}{k}\big)^{2}-\frac{4 l^{2}}{m^{2}}=\frac{4}{m^{2}}\Big(\frac{E^{2}m}{k}-l^{2}\Big).Para a solução física os parâmetros devem satisfazer C\ge 0, o que impõe \dfrac{E^{2}m}{k}\ge l^{2} (isto garante que r oscile entre dois extremos reais).
  • Diferenciando a expressão \dot u^{2}+4\omega^{2}(u-\tfrac{E}{k})^{2}=C em relação ao tempo e dividindo por 2\dot u (supondo \dot u\neq0 momentaneamente) leva a \ddot u +4\omega^{2}\big(u-\tfrac{E}{k}\big)=0.Esta é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, ou seja, um oscilador harmônico forçado por uma constante: equivalente a \ddot u +4\omega^{2}u = 4\omega^{2}\frac{E}{k}.
  • A solução geral desta EDO é a soma da solução homogênea (frequência 2\omega) e da solução particular constante: u(t)=\frac{E}{k}+C_{1}\cos(2\omega t)+C_{2}\sin(2\omega t).Isso pode ser reescrito em forma de amplitude-fase: u(t)=\frac{E}{k}\big(1+A\sin(2\omega t+\theta_{0})\big),onde A\ge0 e \theta_{0} são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 8

Encontrar expressão de A (amplitude adimensional) comparando com a integral de energia.
  • Voltando à relação integral obtida em Passo 6, \dot u^{2}+4\omega^{2}\big(u-\tfrac{E}{k}\big)^{2}=C.Substituindo a solução proposta u(t)=\dfrac{E}{k}\big(1+A\sin(2\omega t+\theta_{0})\big) e usando \dot u=2\omega \dfrac{E}{k}A\cos(2\omega t+\theta_{0}), a soma das duas parcelas do lado esquerdo é constante e igual a 4\omega^{2}\Big(\frac{E}{k}\Big)^{2}A^{2}.Assim C=4\omega^{2}\Big(\frac{E}{k}\Big)^{2}A^{2}.Igualando com a expressão de C obtida antes, 4\omega^{2}\Big(\frac{E}{k}\Big)^{2}A^{2}=\frac{4}{m^{2}}\Big(\frac{E^{2}m}{k}-l^{2}\Big).Simplificando (usar \omega^{2}=k/m) conduz a A^{2}=1-\frac{l^{2}k}{E^{2}m}.Portanto A=\sqrt{\,1-\frac{l^{2}k}{E^{2}m}\,}\quad(\text{o sinal positivo escolhido para a amplitude}).

Passo 9

Expressão final de r(t) e constante de fase \theta_{0}.
  • Lembrando u=r^{2}, temos r(t)=\sqrt{u(t)}=\sqrt{\frac{E}{k}}\;\sqrt{\,1+A\sin(2\omega t+\theta_{0})\,},com A=\sqrt{\,1-\frac{l^{2}k}{E^{2}m}\,},\qquad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
  • A fase \theta_{0} é determinada pelas condições iniciais. Se no tempo t=0 conhecemos r(0)=r_{0} e \dot r(0)=\dot r_{0}, então u(0)=r_{0}^{2} e \dot u(0)=2r_{0}\dot r_{0}. Da forma u(0)=\dfrac{E}{k}(1+A\sin\theta_{0}) segue \sin\theta_{0}=\frac{k r_{0}^{2}}{E}-1\Bigg/\!A=\frac{\dfrac{k r_{0}^{2}}{E}-1}{A}.A partir de \dot u(0)=2\omega \dfrac{E}{k}A\cos\theta_{0} obtemos também \cos\theta_{0} em termos de r_{0} e \dot r_{0}. Uma forma explícita conveniente é \theta_{0}=\operatorname{atan2}\!\Big(\frac{k r_{0}^{2}}{E}-1,\;\frac{k r_{0}\dot r_{0}}{\omega E}\Big),ou, se quisermos apenas uma fórmula usando \arcsin, podemos escrever (com o cuidado do sinal vindo de \cos\theta_{0}): \theta_{0}=\arcsin\!\Big(\frac{\dfrac{k r_{0}^{2}}{E}-1}{A}\Big)ajustando o quadrante pela informação de \dot r_{0}. (Se, por exemplo, \dot r_{0}=0, a determinação de \theta_{0} simplifica.)

Passo 10

Resolvendo (c) — valores máximo e mínimo de r(t) e relação pedida.
  • Como u(t)=r^{2}(t)=\dfrac{E}{k}(1+A\sin(2\omega t+\theta_{0})), o mínimo de u ocorre quando \sin(2\omega t+\theta_{0})=-1 e o máximo quando \sin(2\omega t+\theta_{0})=+1.
    Portanto u_{\min}=\frac{E}{k}(1-A),\qquad u_{\max}=\frac{E}{k}(1+A).Tomando raízes quadradas positivas (raio), r_{\min}=\sqrt{\frac{E}{k}}\sqrt{1-A},\qquad r_{\max}=\sqrt{\frac{E}{k}}\sqrt{1+A}.
  • Agora mostrar E=k\big(r_{\max}^{2}+r_{\min}^{2}\big)/2. Usando r_{\max}^{2}=u_{\max} e r_{\min}^{2}=u_{\min}, \frac{k}{2}\big(r_{\max}^{2}+r_{\min}^{2}\big)=\frac{k}{2}\Big(\frac{E}{k}(1+A)+\frac{E}{k}(1-A)\Big) =\frac{k}{2}\cdot\frac{2E}{k}=E,como pedido.

Resposta

(a) \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}, \;E=kR^{2}.\n(b) \displaystyle E=\frac{1}{2}m\dot r^{2}+\frac{l^{2}}{2 m r^{2}}+\frac{1}{2}k r^{2},\qquad r(t)=\sqrt{\frac{E}{k}}\;\sqrt{\,1+A\sin(2\omega t+\theta_{0})\,}, onde \displaystyle A=\sqrt{\,1-\frac{l^{2}k}{E^{2}m}\,}, \displaystyle \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}, e \theta_{0} é determinada pelas condições iniciais (por exemplo \sin\theta_{0}=\dfrac{\tfrac{k r_{0}^{2}}{E}-1}{A} e \cos\theta_{0} fixado por \dot r_{0}).\n(c) \displaystyle r_{\min}=\sqrt{\frac{E}{k}}\sqrt{1-A},\qquad r_{\max}=\sqrt{\frac{E}{k}}\sqrt{1+A} e \displaystyle E=\frac{k}{2}\big(r_{\max}^{2}+r_{\min}^{2}\big).

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