. Considere uma partícula de massa
que se move num campo de força central dado por
a) Assumindo que a partícula se move com velocidade constante numa órbita circular de raio
, calcule a velocidade angular da partícula e mostre que sua energia é
.
b) Para o caso de movimento mais geral (não necessariamente circular), escreva a expressão da energia para a partícula e via o método da energia determine diretamente a equação para
.
c) Calcule os valores máximo e mínimo de
e mostre que
.
(respostas: b)
, onde
e
; с)
e
b) Para o caso de movimento mais geral (não necessariamente circular), escreva a expressão da energia para a partícula e via o método da energia determine diretamente a equação para
c) Calcule os valores máximo e mínimo de
(respostas: b)
Passo 1
O enunciado dá uma partícula de massa
sujeita a uma força central
e faz três perguntas:
- (a) Para uma órbita circular de raio
com velocidade constante, calcular a velocidade angular da partícula e mostrar que a energia total é . - (b) Para movimento geral (não necessariamente circular), escrever a expressão da energia e, usando o método da energia, obter diretamente a equação para
. - (c) Calcular os valores máximo e mínimo de
e mostrar que .
Informações relevantes que o enunciado dá:
- Força central radial restauradora linear em
: . - Massa da partícula:
. - No item (a) a órbita é circular de raio
com velocidade constante. - Não há outras forças nem torques externos, logo o momento angular será conservado em geral (item (b)).
A partir daqui passo a passo vamos resolver (a), (b) e (c) com explicações didáticas.
Passo 2
Breve aula: potencial associado à força e energia.
- Para uma força central conservativa radial
. Aqui , então integramos para achar o potencial . Integrando em , Podemos escolher a constante por conveniência (referência de energia), então - Energia total clássica é
, onde é energia cinética. Em coordenadas polares (úteis para forças centrais) a velocidade vale , então
Passo 3
Resolvendo (a): órbita circular de raio
com velocidade constante.
- Numa órbita circular
constante, temos e constante, e a velocidade tangencial é . - A força radial fornece a aceleração centrípeta. A magnitude da aceleração centrípeta é
. A equação radial (modulos) é Dividindo por (assumindo ): Esta é a velocidade angular para qualquer raio — observe que é independente de neste tipo de força linear em . - Agora a energia total para a órbita circular:
e o potencial é Logo a energia total Portanto, para órbita circular: e .
Passo 4
Resolvendo (b) — expressão geral da energia e conservação do momento angular.
- Em movimento geral (polar), como já dito,
A energia total é - Momento angular (módulo) é
que é conservado porque a força é central (não há torque em torno do centro). Então podemos escrever . - Substituindo
na energia: Simplificando o segundo termo: Portanto a expressão da energia (que vale para qualquer movimento no potencial dado) é Esta é a primeira parte pedida em (b).
Passo 5
Ainda em (b) — usar a energia para obter a equação para
(método da energia).
- Reescrevemos a energia isolando
: Multiplicando por , - Para resolver explicitamente a dependência temporal é conveniente usar a mudança de variável
Então e portanto - Multiplicando a equação
por obtemos Substituindo e ,
Passo 6
Continuando (b) — transformar em uma EDO tipo harmônico e resolver.
- Multiplicando por
, Defina (já apareceu em (a)). Então: - Agora completamos o quadrado nos termos em
. Note que porque . - Substituindo,
Isolando os dois primeiros termos do lado esquerdo e o resto no outro lado:
Passo 7
Ainda (b) — reconhecer a EDO harmônica para
.
- O lado direito é constante; chamemos essa constante de
: Para a solução física os parâmetros devem satisfazer , o que impõe (isto garante que oscile entre dois extremos reais). - Diferenciando a expressão
em relação ao tempo e dividindo por (supondo momentaneamente) leva a Esta é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, ou seja, um oscilador harmônico forçado por uma constante: equivalente a - A solução geral desta EDO é a soma da solução homogênea (frequência
) e da solução particular constante: Isso pode ser reescrito em forma de amplitude-fase: onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 8
Encontrar expressão de
(amplitude adimensional) comparando com a integral de energia.
- Voltando à relação integral obtida em Passo 6,
Substituindo a solução proposta e usando , a soma das duas parcelas do lado esquerdo é constante e igual a Assim Igualando com a expressão de obtida antes, Simplificando (usar ) conduz a Portanto
Passo 9
Expressão final de
e constante de fase
.
- Lembrando
, temos com - A fase
é determinada pelas condições iniciais. Se no tempo conhecemos e , então e . Da forma segue A partir de obtemos também em termos de e . Uma forma explícita conveniente é ou, se quisermos apenas uma fórmula usando , podemos escrever (com o cuidado do sinal vindo de ): ajustando o quadrante pela informação de . (Se, por exemplo, , a determinação de simplifica.)
Passo 10
Resolvendo (c) — valores máximo e mínimo de
e relação pedida.
- Como
, o mínimo de ocorre quando e o máximo quando .
PortantoTomando raízes quadradas positivas (raio), - Agora mostrar
. Usando e , como pedido.
Resposta
(a)
,
.\n(b)
, onde
,
, e
é determinada pelas condições iniciais (por exemplo
e
fixado por
).\n(c)
e
.